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一、什么是分类问题？

在分类问题中，我们试图预测的变量𝑦是离散的值，通常表示某种类别或标签。这些类别可以是二元的，也可以是多元的。分类问题的示例包括：

• 判断一封电子邮件是否是垃圾邮件（二元分类）
• 判断一次金融交易是否涉及欺诈（二元分类）
• 区分肿瘤是恶性的还是良性的（二元分类）
• 图像识别：将图像分为不同的类别（多元分类）

分类问题在现实世界中无处不在，因此开发有效的分类算法至关重要。逻辑回归是其中一种应用最广泛的分类算法。

二、逻辑回归

逻辑回归是一种分类算法，尽管其名称中包含“回归”，但它实际上是用于分类任务的算法。逻辑回归的特点是其输出值永远在0到1之间，这使得它非常适合处理离散的标签，如0和1。

与线性回归不同，逻辑回归的输出范围被约束在[0, 1]之间，因此它适用于计算概率。具体来说，逻辑回归模型使用一个逻辑函数（Sigmoid函数）来将输入映射到0和1之间。逻辑函数的公式为：

g(z) = 1 / (1 + e^(-z))

在这个公式中，z表示输入，g(z)表示逻辑函数。逻辑函数的作用是计算在给定输入条件下，输出为1的可能性。如果g(z)大于等于0.5，则模型预测为1；如果g(z)小于0.5，则模型预测为0。

三、假设函数表示

逻辑回归模型的假设函数表示如下：

ℎ𝜃(𝑥) = 𝑔(𝜃^𝑇𝑥)

在这个表示中，𝑥代表特征向量，𝑔代表逻辑函数。模型的任务是根据选择的参数计算输出变量为1的可能性，即ℎ𝜃(𝑥) = 𝑃(𝑦 = 1|𝑥; 𝜃)。例如，如果计算得到ℎ𝜃(𝑥) = 0.7，那么表示有70%的几率𝑦为正向类，相应地𝑦为负向类的几率为0.3。

四、判定边界

在逻辑回归中，我们通过选择适当的参数𝜃来定义一个决策边界（decision boundary），该边界将数据分为不同的类别。决策边界是一个分割区域，对于不同的输入数据，模型会预测其属于不同的类别。

逻辑回归的假设函数可以表示为：

ℎ𝜃(𝑥) = 𝑔(𝜃0 + 𝜃1𝑥1 + 𝜃2𝑥2 + 𝜃3𝑥1² + 𝜃4𝑥2²)

在上述表达式中，𝑥1和𝑥2是特征，𝜃0、𝜃1、𝜃2、𝜃3、𝜃4是模型的参数。根据不同的参数，我们可以得到不同的决策边界。这意味着逻辑回归模型可以适应各种形状的决策边界，从简单的直线到复杂的曲线。

参考资料：

[中英字幕]吴恩达机器学习系列课程

黄海广博士 - 吴恩达机器学习个人笔记