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目录
注：
树的存储结构
1. 双亲表示法
2. 孩子表示法
3. 重要：孩子兄弟法（二叉树表示法）
森林与二叉树的转换
树和森林的遍历
1. 树的遍历
2. 森林的遍历
哈夫曼树及其应用
基本概念
哈夫曼树的构造算法
1. 构造过程
2. 算法实现
哈夫曼编码
算法实现
文件的编码和译码
二叉树的运用 - 利用二叉树求解表达式
中缀表达式树的创建
中缀表达式树的求值
注：
本笔记参考：《数据结构（C语言版）》
接下来是树的表示、遍历操作及树林与二叉树之间的对应关系。
树的存储结构
1. 双亲表示法
用一组连续的存储单元存储树的结点，每个结点包括两个域：
例如：
- 优点：求结点的双亲和树的根会十分方便；
- 缺点：求结点的孩子时需要遍历整个结构。
------
2. 孩子表示法
由于每个结点可以有多棵子树，所以每个结点可以有多个指针域，每个指针域分别指向其中一棵子树的根结点：
除此之外，还有一种存储结构：在这种存储结构中，由孩子结点组成了一个个线性表，并且把这些链表的头结点再组成一个线性表。
【例如】
而如果把双亲表示法和孩子表示法结合起来，就会得到又一种存储结构：
------
3. 重要：孩子兄弟法（二叉树表示法）
即将二叉链表作为树的存储结构，这种链表有两个链域：
typedef struct CSNode {ElemType data;CSNode* firstchild, * nextsibling;
}CSNode, *CSTree;这种存储结构便于各种关于树的操作，譬如访问孩子节点：只需交替寻找 firstchild域 和 nextsibling域 即可。
而如果要方便寻找双亲结点，仅需在结构上多设置一个 parent域 即可。
如上图所示，这种存储结构与二叉链表完全一致，可以通过这种结构，将一般的树转换成二叉树进行处理。因此，孩子兄弟表示法的运用较为普遍。
森林与二叉树的转换
由上述的孩子兄弟表示法可知，任何一棵和树对应的二叉树，其根结点的右子树必空。例如：
通过上述的例子，就可以揭示森林与二叉树之间的转换规律。
现在假设：
因为空树就是空二叉树，所以这种情况不做说明。
1. 森林转换为二叉树
2. 二叉树转换为森林
上述所描述的转换方式都可以通过递归实现。
树和森林的遍历
1. 树的遍历
与二叉树不同，树的遍历只有两种方式：
- 先根（次序）遍历：优先访问树的根结点，然后依此访问子树；
- 后根（次序）遍历：先后根遍历子树，再访问对应根结点。
【例如】
2. 森林的遍历
||| 森林和树之间是可以进行相互递归的。
遍历的一个前提：森林非空。
（1）先序遍历规则：
- 访问森林中第一棵树的根结点；
- 先序访问第一棵树的根结点的子树森林；
- 先序遍历由剩余的树构成的森林。
（2）中序遍历规则：
- 中序遍历森林中第一棵树的根结点的子树森林；
- 访问第一棵树的根结点；
- 中序遍历由剩余的树构成的森林。
【例如】
注：此处森林的先序和中序遍历，分别与对应二叉树的先序和中序遍历相对。
哈夫曼树及其应用
基本概念
||| 哈夫曼树（即最优二叉树）：是一类带权路径长度最短的二叉树。
以下是一些会用到的概念：
| 概念 | 定义 |
| 路径 | 从树中的一个结点到另一个结点之间的 分支 构成两结点之间的路径 |
| 路径长度 | 即路径上的分支数目 |
| 树的路径长度 | 从树根到每一结点的路径长度之和 |
| 权 | 赋予某个实体的一个量 （是对实体的某个或某些属性的数值化描述） |
| 结点的带权路径长度 | = 该结点到树根之间的路径长度 × 结点上的权 |
| 树的带权路径长度（WSL） | = 树中 所有叶子结点 的带权路径长度之和 |
【例如】
有4个叶子结点a、b、c、d，分别带权7、5、2、4，这4个叶子结点存在于不同的二叉树上：
可以验证，下面的这棵树的带权路径长度恰好是最小的（或者说，在所有带权为7、5、2、4的4个叶子结点的二叉树中其值最小），它就是哈夫曼树。
由上述例子可以看出：在哈夫曼树中，权值越大的结点离根结点越近。
哈夫曼树的构造算法
1. 构造过程
2. 算法实现
由上述构造可知，哈夫曼树中不存在度为1的结点。故若哈夫曼树存在n个叶子结点，则其总结点数一定是2n - 1。
哈夫曼树的结点存储结构：
若将上述的存储结构转换为代码，就是：
typedef struct
{int weight; //结点的权值int parent, lchild, rchild; //结点的双亲、左孩子和右孩子的下标
}HTNode, *HuffmanTree;注意：和以往的链式存储不同，此次是通过动态分配的方式对哈夫曼树进行存储。
在具体的实现中，为了方便，往往会将下标为0的单元置空，所以开辟的数组大小将会是2n。对存储内容进行分类：
- 前1~n个单元：存储叶子结点；
- 后n - 1个单元：存储非叶子结点。
【参考代码：构造哈夫曼树】
void CreateHuffmanTree(HuffmanTree& HT, int n)
{//---初始化开始---if (n <= 1)return;int m = 2 * n - 1;HT = new HTNode[m + 1]; //规定：HT[m]表示根结点for (int i = 1; i <= m; i++){ //处理 1 至 m 个单元（初始化）HT[i].parent = 0;HT[i].lchild = 0;HT[i].rchild = 0;}for (int i = 1; i <= n; i++){ //输入叶子结点的权值（即前n个结点）cin >> HT[i].weight;}//---初始化完毕，开始创建哈夫曼树---for (int i = n + 1; i <= m; i++){ //进行n-1次的构造操作int s1 = 0;int s2 = 0;SelectLeaves(HT, i - 1, s1, s2);//挑选目标结点HT[s1].parent = i; //更改双亲域（相当于删除s1和s2，得到了新结点i）HT[s2].parent = i;HT[i].lchild = s1; //将s1和s2作为i的孩子HT[i].rchild = s2;HT[i].weight = HT[s1].weight + HT[s2].weight;}
}
其中，函数SelectLeaves的参考如下（仅供参考）：
//挑选要求： //1. 双亲域为0； //2. 权值最小。 void SelectLeaves(HuffmanTree HT, int i, int& s1, int& s2) {int left = 1;int right = i;while (left < right){if (HT[left].parent == 0 && HT[right].parent == 0){if (HT[left].weight <= HT[right].weight)right--;elseleft++;}else if (HT[left].parent != 0)left++;elseright--;}s1 = left;HT[s1].parent = 1;left = 1;right = i;while (left < right){if (HT[left].parent == 0 && HT[right].parent == 0){if (HT[left].weight <= HT[right].weight)right--;elseleft++;}else if (HT[left].parent != 0)left++;elseright--;}s2 = left; }
哈夫曼编码
为了对数据文件进行尽可能的压缩，有人提出了不定长编码的概念：为出现次数较多的字符编以较短的代码。而通过哈夫曼树设计的二进制编码，就可以满足这一需求。
在上图中，约定：
- 左分支标记为0；
- 右分支标记为1。
由此，根结点到每个叶子结点的路径上的0、1序列就构成了相应字符的编码。这种由各分支的赋值构成的二进制串，就是哈夫曼编码。
前缀编码的概念（提及）：若在一个编码方案中，任一编码都不是其他任何编码的前缀（最左子串），则称该编码为前缀编码。譬如：
前缀编码： 0, 10, 110, 111
非前缀编码：0, 01, 010, 111
哈夫曼编码的两个性质：
- 哈夫曼编码是前缀编码（因为路径的不同）；
- 哈夫曼编码是最优前缀编码：对于包含n个字符的数据文件，分别以字符的出现次数为权值构造哈夫曼树，再用该树对应的哈夫曼编码压缩文件，可使文件压缩后对应的二进制文件长度最短。
算法实现
主要思想：
- 从叶子出发，向上回溯至根结点。
- 回溯时，走左分支则生成代码0。
- 回溯时，走右分支则生成代码1。
使用一个指针数组作为哈夫曼编码表，存放每个字符编码串的首地址（依旧是从1号单元开始使用）：
typedef char** HuffmanCode; //通过动态分配数组存储哈夫曼表在动态开辟数组时，会发现：由于当前并不清楚每个字符编码的长度，所以不能为每个字符分配合适的存储空间。为了解决这个麻烦，通常会动态分配一个长度为n的一维数组作为临时的存储。
注意：由于求解编码的过程是向上回溯的，所以对于每个字符，得到的编码顺序是从右往左的。因此，在将编码往临时的一维数组cd内存储时，顺序也是从后向前的（即字符的第一个编码应该存储到 cd[n - 2] 中，以此类推）。
【参考代码】
void CreateHuffmanCode(HuffmanTree HT, HuffmanCode& HC, int n)
{//将从叶子到根结点回溯求得的每个字符的哈夫曼编码，存储到编码表HC中HC = new char* [n + 1]; //分配存储n个字符编码的编码表空间char* cd = new char[n]; //分配临时存放每个字符编码的动态存储空间cd[n - 1] = '\0'; //编码结束符for (int i = 1; i <= n; i++) //逐字符求编码{int start = n - 1; //从后往前写入int c = i; //从每个叶子结点开始int f = HT[i].parent;while (f != 0) //直到回到根结点为止{--start;if (HT[f].lchild == c) //左、右分支对应不同的代码cd[start] = '0';elsecd[start] = '1';c = f; //继续回溯f = HT[f].parent;}HC[i] = new char[n - start]; //分配空间strcpy(HC[i], &cd[start]); //将求得的编码复制到HC中}delete[] cd;
}【例子】
设在一系统通信内只可能出现8种字符，出现概率分别为0.05，0.29，0.07，0.08，0.14，0.23，0.03，0.11。
为设计哈夫曼编码，将概率作为对应字符的权值，得到：w = (5, 29, 7, 8, 14, 23, 3, 11)。其对应的哈夫曼表为：
文件的编码和译码
在完成字符集的哈夫曼编码表后，就可以进行编码和译码的操作。
对数据文件进行编码的过程是：
- 依此读入文件中的字符；
- 在哈夫曼编码表HC中找到此字符；
- 将对应字符转换为编码表中存放的编码串。
对编码后的文件进行译码的过程是：
- 依此读入文件中的二进制码；
- 从哈夫曼树的根结点（即HT[m]）出发，读入0，则进左孩子；读入1，则进右孩子。一旦到达某一叶子HT[i]，则译出相应的字符编码HC[i];
- 循环上述步骤，直到文件结束。
二叉树的运用 - 利用二叉树求解表达式
对于任一算术表达式，都可以使用二叉树进行表示。而当对应二叉树创建完毕时，就可以利用对于二叉树的操作，进行表达式的求值运算。
中缀表达式树的创建
假设：运算符均为双目运算符。
由于创建的表达式树需要准确表达运算的次序，所以需要考虑各个运算符之间的优先级。为此，可以借助一个运算符栈，来存储未处理的运算符。
由两个操作数与一个运算符即可建立一棵表达式二叉树，而该二叉树又可以是另一棵树的子树。可以结组一个表达式树栈，以此来暂存已建立好的树。
【参考代码】
假设每个表达式的开头和结尾均为“#”。
两个工作栈：
- OPTR，用来暂存运算符。
- EXPT，用来暂存已建立好的表达式树的根结点。
【参考代码】
BiTree InitExpTree()
{SqStack EXPT;LinkStack OPTR;InitStack(EXPT); //初始化栈InitLinkStack(OPTR);LinkPush(OPTR, '#'); //将表达式起始符‘#’压入栈顶char ch = 0;cin >> ch;while (ch != '#' || LinkGetTop(OPTR) != '#') //表达式未扫描完毕 || OPTR栈顶元素不是‘#’{if (!In(ch)) //ch不是运算符{BiTree T = new BiTNode;CreateExpTree(T, NULL, NULL, ch); //以ch为根创建一棵只有根结点的二叉树Push(EXPT, T); //将二叉树根结点T压入EXPT栈内cin >> ch;}else{switch (Precede(LinkGetTop(OPTR), ch)) //比较二者的优先级{case '<':{LinkPush(OPTR, ch); //当前字符入栈cin >> ch;break;}case '>':{char theta = 0;BiTree T = new BiTNode;BiTree a = new BiTNode;BiTree b = new BiTNode;LinkPop(OPTR, theta); //弹出OPTR栈顶的运算符Pop(EXPT, b); //弹出EXPT栈顶的两个运算数Pop(EXPT, a);CreateExpTree(T, a, b, theta); //创建新的子树Push(EXPT, T);break;}case '=': //仅当：OPTR栈顶元素是'('，字符ch是')'{char x = 0;LinkPop(OPTR, x);cin >> ch;break;}}}}BiTree T = new BiTNode;Pop(EXPT, T);return T;
}由于字符的限制，上述算法只能进行10以内的运算。
【算法分析】
- 时间复杂度：遍历表达式中的每个字符，故时间复杂度为O(n)；
- 空间复杂度：算法运行时所占用的辅助空间主要有OPTR栈和EXPT栈，它们的大小之和不会超过n，故空间复杂度为O(n)。
中缀表达式树的求值
【参考代码】
int EvaluateExpTree(BiTree T)
{int lvalue = 0, rvalue = 0; ///初始值均为0if (T->rchild == NULL && T->lchild == NULL)return T->data - '0'; //若当前结点为操作数，则返回该结点的对应数值else //若结点为操作符{lvalue = EvaluateExpTree(T->lchild);rvalue = EvaluateExpTree(T->rchild);return GetValue(T->data, lvalue, rvalue); //对取得的两个操作数进行计算}
}其中，函数GetValue就是对加、减、乘、除四种运算进行处理的函数。
该算法的时间复杂度和空间复杂度均为O(n)。