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原题链接🔗：将有序数组转换为二叉搜索树
难度：简单⭐️

题目

给你一个整数数组 nums ，其中元素已经按 升序 排列，请你将其转换为一棵 平衡 二叉搜索树。

示例 1：

输入：nums = [-10,-3,0,5,9]
输出：[0,-3,9,-10,null,5]
解释：[0,-10,5,null,-3,null,9] 也将被视为正确答案：

示例 2：

输入：nums = [1,3]
输出：[3,1]
解释：[1,null,3] 和 [3,1] 都是高度平衡二叉搜索树。

提示：

• 1 <= nums.length <= 10⁴
• -10⁴ <= nums[i] <= 10⁴
• nums 按 严格递增 顺序排列

平衡二叉搜索树

• 平衡二叉搜索树（Balanced Binary Search Tree，简称BBST）是一种特殊的二叉搜索树，它在保持二叉搜索树的所有性质的同时，还保证了树的高度尽可能地小。这通常通过在插入和删除操作后重新平衡树来实现，以确保树的任何两个子树的高度差不会超过1。

• 平衡二叉搜索树的一个常见实现是AVL树，它是一种自平衡的二叉搜索树，其名称来源于其发明者Adelson-Velsky和Landis。AVL树在每次插入或删除操作后，都会进行必要的旋转操作来保持树的平衡。

• AVL树的平衡操作包括四种基本的旋转：

  • 左旋（Left Rotation）：当节点的右子树比左子树高时，进行左旋来减少树的高度。
  • 右旋（Right Rotation）：当节点的左子树比右子树高时，进行右旋来减少树的高度。
  • 左右旋（Left-Right Rotation）：当节点的左子树的右子树比左子树高时，首先对左子树进行右旋，然后对节点进行左旋。
  • 右左旋（Right-Left Rotation）：当节点的右子树的左子树比右子树高时，首先对右子树进行左旋，然后对节点进行右旋。

• AVL树的每个节点除了存储值和指向左右子节点的指针外，还存储了一个平衡因子（balance factor），通常是左子树高度和右子树高度的差值。节点的平衡因子只能是-1、0或1。

题解

递归法

1. 解题思路：

将一个有序数组转换为二叉搜索树（BST）的解题思路基于二叉搜索树的性质：左子树上所有节点的值 < 根节点的值 < 右子树上所有节点的值。对于一个有序数组，我们可以利用数组的有序性来快速确定根节点和左右子树的划分点。

以下是解题步骤：

• 确定根节点：对于有序数组，中间元素（数组长度的一半）是一个很好的根节点候选，因为它可以很好地维持左右子树的大小平衡。

• 递归构建左右子树：使用数组下标来划分，左子树包含从数组开始到根节点前的部分，右子树包含从根节点的下一个元素到数组末尾的部分。

• 递归终止条件：当子数组为空时，返回null。

• 构建树：对于每个子数组，重复上述步骤，递归地构建左右子树。

• 返回根节点：递归结束时，返回构建的树的根节点。

下面是具体的算法逻辑：

• 定义一个递归函数sortedArrayToBST，它接收有序数组的起始索引和结束索引作为参数。
• 计算中间索引mid：mid = (start+ end) / 2。
• 使用mid索引处的值创建一个新的树节点。
• 递归地调用sortedArrayToBST来构建左子树，使用start和mid - 1作为新的参数。
• 递归地调用sortedArrayToBST来构建右子树，使用mid + 1和end作为新的参数。
• 将左子树和右子树分别赋值给新创建的根节点的左右子节点。
• 返回根节点。

2. 复杂度：时间复杂度O(n)，空间复杂度O(logn)。

3. c++ demo：

#include <iostream>
#include <vector>// 定义二叉树节点
struct TreeNode {int val;TreeNode* left;TreeNode* right;TreeNode(int x) : val(x), left(nullptr), right(nullptr) {}
};// 将有序数组转换为二叉搜索树的函数
class Solution {
public:TreeNode* sortedArrayToBST(std::vector<int>& nums) {return sortedArrayToBSTHelper(nums, 0, nums.size() - 1);}private:TreeNode* sortedArrayToBSTHelper(std::vector<int>& nums, int start, int end) {if (start > end) {return nullptr;}// 选择中间的元素作为根节点int mid = start + (end - start) / 2;TreeNode* node = new TreeNode(nums[mid]);// 递归地构建左子树和右子树node->left = sortedArrayToBSTHelper(nums, start, mid - 1);node->right = sortedArrayToBSTHelper(nums, mid + 1, end);return node;}
};// 辅助函数：中序遍历二叉树并打印节点值
void inorderTraversal(TreeNode* node) {if (!node) return;inorderTraversal(node->left);std::cout << node->val << " ";inorderTraversal(node->right);
}// 辅助函数：释放二叉树内存
void deleteTree(TreeNode* node) {if (!node) return;deleteTree(node->left);deleteTree(node->right);delete node;
}int main() {// 创建Solution实例Solution solution;// 有序数组std::vector<int> nums = { -10, -3, 0, 5, 9 };// 将有序数组转换为BSTTreeNode* root = solution.sortedArrayToBST(nums);// 中序遍历BST并打印节点值std::cout << "Inorder traversal of the constructed BST:" << std::endl;inorderTraversal(root);std::cout << std::endl;// 释放二叉树内存deleteTree(root);return 0;
}

• 输出结果：

Inorder traversal of the constructed BST:
-10 -3 0 5 9

4. demo 仓库地址：sortedArrayToBST