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1 八点法计算F矩阵（基础矩阵）
基础矩阵用于描述两个视图之间的几何关系
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基础矩阵：基础矩阵 F F F 是描述两个视图之间相机投影关系的矩阵。对于两个对应的图像坐标点 ( x , y , 1 ) (x, y, 1) (x,y,1) 和 ( u , v , 1 ) (u, v, 1) (u,v,1) 在两个视图上，基础矩阵满足以下方程：
这个方程即对极约束，描述了图像中对应点的投影关系
[ u v 1 ] T ⋅ F ⋅ [ x y 1 ] = 0 \begin{bmatrix} u \\ v \\ 1 \end{bmatrix}^T \cdot F \cdot \begin{bmatrix} x \\ y \\ 1 \end{bmatrix} = 0 uv1 T⋅F⋅ xy1 =0
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线性系统：对于多对对应点，可以构建一个线性方程系统 A f = 0 Af = 0 Af=0 ，其中 A A A 是由对应点生成的矩阵， f f f 是基础矩阵的扁平形式
上述方程即：
[ u v 1 ] ⋅ [ f 11 f 12 f 13 f 21 f 22 f 23 f 31 f 32 f 33 ] ⋅ [ x y 1 ] = 0 \begin{bmatrix} u & v & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} f_{11} & f_{12} & f_{13} \\ f_{21} & f_{22} & f_{23} \\ f_{31} & f_{32} & f_{33} \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x \\ y \\ 1 \end{bmatrix} = 0 [uv1]⋅ f11f21f31f12f22f32f13f23f33 ⋅ xy1 =0
展开得到：
[ u x v x x u y v y y u v 1 ] ⋅ [ f 11 f 12 f 13 f 21 f 22 f 23 f 31 f 32 f 33 ] = 0 \begin{bmatrix} ux&vx&x&uy&vy&y&u&v&1 \end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix}f_{11} \\ f_{12} \\ f_{13} \\ f_{21} \\ f_{22} \\ f_{23} \\ f_{31} \\ f_{32} \\ f_{33} \\ \end{bmatrix} = 0 [uxvxxuyvyyuv1]⋅ f11f12f13f21f22f23f31f32f33 =0
这个矩阵方程可以表示为 A i f = 0 A_if = 0 Aif=0
为了解出这个9个未知数的 f f f ，我们至少需要8对点，所以叠加 A i A_i Ai 得到 A A A 矩阵
A = [ x 1 u 1 x 1 v 1 x 1 y 1 u 1 y 1 v 1 y 1 u 1 v 1 1 x 2 u 2 x 2 v 2 x 2 y 2 u 2 y 2 v 2 y 2 u 2 v 2 1 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ x 8 u 8 x 8 v 8 x 8 y 8 u 8 y 8 v 8 y 8 u 8 v 8 1 ] A = \begin{bmatrix} x_1u_1 & x_1v_1 & x_1 & y_1u_1 & y_1v_1 & y_1 & u_1 & v_1 & 1 \\ x_2u_2 & x_2v_2 & x_2 & y_2u_2 & y_2v_2 & y_2 & u_2 & v_2 & 1 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ x_8u_8 & x_8v_8 & x_8 & y_8u_8 & y_8v_8 & y_8 & u_8 & v_8 & 1 \end{bmatrix} A= x1u1x2u2⋮x8u8x1v1x2v2⋮x8v8x1x2⋮x8y1u1y2u2⋮y8u8y1v1y2v2⋮y8v8y1y2⋮y8u1u2⋮u8v1v2⋮v811⋮1
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最小二乘法：通过奇异值分解（SVD），取 V T V^T VT 的最后一列作为估计矩阵 A A A 的最小二乘解，即 f f f
方程的最小二乘解有一个既定的结论，即对 A A A 进行SVD分解，得到的 V T V^T VT 的最后一行 即是 f f f 的解
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基础矩阵还原：将 f f f reshape 为 3 × 3 3 \times 3 3×3 的矩阵，然后通过奇异值分解（SVD）对矩阵进行调整，以确保基础矩阵的秩为2
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SVD分解：
对矩阵 F F F 进行奇异值分解： F = U Σ V T F = U \Sigma V^T F=UΣVT ，其中 U U U 和 V V V 是正交矩阵， Σ \Sigma Σ 是对角矩阵 -
秩-2约束：
将奇异值矩阵 Σ \Sigma Σ 调整为仅保留前两个奇异值（将第三个奇异值设为0），以确保基础矩阵的秩为2 -
重构基础矩阵：
F = U Σ ′ V T F = U \Sigma' V^T F=UΣ′VT
F = f.reshape((3, 3))# 对F进行SVD分解 U, S, Vt = np.linalg.svd(F)# 将奇异值矩阵Sigma调整为仅保留前两个奇异值（第三个设为0） S[2] = 0# 重构基础矩阵F F = np.dot(U, np.dot(np.diag(S), Vt)) -
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归一化：对基础矩阵进行归一化，以确保尺度的一致性
2 标准化八点算法
对普通的八点算法进行了改进，通过标准化输入数据，提高了算法的稳健性和准确性
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我们首先将对应点标准化为零均值和单位方差，以消除尺度的影响
mean1 = np.mean(keypoints1, axis=0) mean2 = np.mean(keypoints2, axis=0) std1 = np.std(keypoints1, axis=0) std2 = np.std(keypoints2, axis=0) # 防止除0，由于齐次坐标，标准差std算得最后一项为0 std1[2] = 1 std2[2] = 1 nomalized_points1 = (keypoints1 - mean1) / std1 nomalized_points2 = (keypoints2 - mean2) / std2
x ˉ = x − μ x ˉ σ x \bar{x} = \frac{x - \bar{\mu_x}}{\sigma_x} xˉ=σxx−μxˉ
也等于左乘一个转换矩阵 T T T ：
T = [ 1 σ x 0 − μ x σ x 0 1 σ y − μ y σ y 0 0 1 ] T = \begin{bmatrix} \frac{1}{\sigma_x} & 0 & -\frac{\mu_x}{\sigma_x} \\ 0 & \frac{1}{\sigma_y} & -\frac{\mu_y}{\sigma_y} \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} T= σx1000σy10−σxμx−σyμy1
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在这些标准化点上运行八点算法
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最后对得到的基本矩阵进行反变换，在计算基础矩阵后，需要将其进行撤销标准化处理，以获得最终的基础矩阵
F = T 2 − 1 ⋅ F n o r m a l i z e d ⋅ T 1 F = T_2^{-1} \cdot F_{normalized} \cdot T_1 F=T2−1⋅Fnormalized⋅T1
3 三角测量
我们有两个相机，它们的c分别为 P 1 P_1 P1 和 P 2 P_2 P2 （ 3 × 4 3 \times 4 3×4 矩阵）。
P = K [ R ∣ t ] P = K\begin{bmatrix}R|t\end{bmatrix} P=K[R∣t]
对于一个在相机1和相机2中分别观察到的同一物体的对应点 x ~ 1 \tilde x_1 x~1 和 x ~ 2 \tilde x_2 x~2 （齐次坐标 3 × 1 3 \times 1 3×1 向量） ，我们可以得到以下方程：其中， X ~ \tilde X X~ （齐次坐标 4 × 1 4 \times 1 4×1 向量）是物体在三维空间中的坐标
P 1 X ~ = x ~ 1 P 2 X ~ = x ~ 2 P_1 \tilde X =\tilde x_1\\ P_2 \tilde X =\tilde x_2 P1X~=x~1P2X~=x~2
将 P P P 分解为三个向量：
P i = [ P i 1 P i 2 P i 3 ] P i 1 = [ p 11 , p 12 , p 13 , p 14 ] P i 2 = [ p 21 , p 22 , p 23 , p 24 ] P i 3 = [ p 31 , p 32 , p 33 , p 34 ] P_i =\begin{bmatrix}P_{i1}\\ P_{i2} \\ P_{i3} \end{bmatrix} \\ P_{i1} = [p_{11}, p_{12}, p_{13}, p_{14}] \\ P_{i2} = [p_{21}, p_{22}, p_{23}, p_{24}] \\ P_{i3} = [p_{31}, p_{32}, p_{33}, p_{34}] \\ Pi= Pi1Pi2Pi3 Pi1=[p11,p12,p13,p14]Pi2=[p21,p22,p23,p24]Pi3=[p31,p32,p33,p34]
这样，原等式就变为：
[ P i 1 X ~ P i 2 X ~ P i 3 X ~ ] = [ x i y i 1 ] \begin{bmatrix}P_{i1}\tilde X \\ P_{i2}\tilde X \\ P_{i3}\tilde X\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}x_i \\ y_i \\ 1\end{bmatrix} Pi1X~Pi2X~Pi3X~ = xiyi1
将左边向量齐次化除以第三个元素，与右边向量元素一一对应：
P i X ~ = [ P i 1 X ~ P i 3 X ~ P i 2 X ~ P i 3 X ~ 1 ] = [ x i y i 1 ] = x ~ i x i = P i 1 X ~ P i 3 X ~ ⇒ x i P i 3 X ~ − P i 1 X ~ = 0 y i = P i 2 X ~ P i 3 X ~ ⇒ y i P i 3 X ~ − P i 2 X ~ = 0 P_i \tilde X = \begin{bmatrix} \frac{P_{i1} \tilde X}{P_{i3}\tilde X} \\ \frac{P_{i2} \tilde X}{P_{i3} \tilde X} \\ 1 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}x_i \\ y_i \\ 1 \end{bmatrix} = \tilde x_i \\ x_i = \frac{P_{i1} \tilde X}{P_{i3} \tilde X} \Rightarrow x_iP_{i3} \tilde X-P_{i1} \tilde X = 0 \\ y_i = \frac{P_{i2} \tilde X}{P_{i3} \tilde X} \Rightarrow y_iP_{i3} \tilde X-P_{i2} \tilde X = 0 PiX~= Pi3X~Pi1X~Pi3X~Pi2X~1 = xiyi1 =x~ixi=Pi3X~Pi1X~⇒xiPi3X~−Pi1X~=0yi=Pi3X~Pi2X~⇒yiPi3X~−Pi2X~=0
由于我们知道 x 1 x_1 x1 、 x 2 x_2 x2 和 P 1 P_1 P1 、 P 2 P_2 P2 ，我们可以将其转化为一个齐次线性方程组：
A 1 = [ x 1 P 13 − P 11 y 1 P 13 − P 12 ] A 2 = [ x 2 P 23 − P 21 y 2 P 23 − P 22 ] A = [ A 1 A 2 ] A X ~ = 0 A_1 = \begin{bmatrix} x_1 P_{13} - P_{11} \\ y_1 P_{13} - P_{12} \end{bmatrix} \\ A_2 = \begin{bmatrix} x_2 P_{23} - P_{21} \\ y_2 P_{23} - P_{22} \end{bmatrix} \\ A = \begin{bmatrix}A_1 \\ A_2 \end{bmatrix} \\ A\tilde X = 0 A1=[x1P13−P11y1P13−P12]A2=[x2P23−P21y2P23−P22]A=[A1A2]AX~=0
A = np.array([keypoint1[0] * P1[2] - P1[0],keypoint1[1] * P1[2] - P1[1],keypoint2[0] * P2[2] - P2[0],keypoint2[1] * P2[2] - P2[1]]
)
这样我们就可以使用最小二乘法或其他方法来解决这个线性方程组，从而找到物体的三维位置 X X X
# DLT算法解决最小二乘法
_, _, Vt = np.linalg.svd(A)
x_w = Vt[-1]
x_w = x_w / x_w[3] # 齐次坐标