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拉普拉斯变换解微分方程

  • 拉普拉斯变换解微分方程的一般步骤如下:
    • 写出微分方程。
    • 对微分方程两边应用拉普拉斯正变换
    • 求解变换后的代数方程,得到 Y ( s ) Y(s) Y(s)
    • 如果需要,进行部分分式分解。
    • Y ( s ) Y(s) Y(s)进行拉普拉斯逆变换,得到 y ( t ) y(t) y(t)
    • 考虑初始条件,得到完整的时域解。

1. 写出微分方程

  • 假设有一个关于函数 y ( t ) y(t) y(t)的微分方程:

d n y ( t ) d t n + a n − 1 d n − 1 y ( t ) d t n − 1 + ⋯ + a 1 d y ( t ) d t + a 0 y ( t ) = f ( t ) \frac{d^n y(t)}{dt^n} + a_{n-1} \frac{d^{n-1} y(t)}{dt^{n-1}} + \dots + a_1 \frac{d y(t)}{dt} + a_0 y(t) = f(t) dtndny(t)+an1dtn1dn1y(t)++a1dtdy(t)+a0y(t)=f(t)

其中, f ( t ) f(t) f(t) 是已知的外部输入函数,( y(t) ) 是待求解的函数,( a_0, a_1, \dots, a_{n-1} ) 是常数。

2. 对微分方程两边应用拉普拉斯变换

拉普拉斯变换的定义是:

L { f ( t ) } = F ( s ) = ∫ 0 ∞ f ( t ) e − s t d t \mathcal{L} \{ f(t) \} = F(s) = \int_0^\infty f(t) e^{-st} dt L{f(t)}=F(s)=0f(t)estdt

通过对微分方程两边应用拉普拉斯变换,将微分方程中的每一项都转换为代数方程中的相应项。利用拉普拉斯变换的常用公式:

  • L { d n y ( t ) d t n } = s n Y ( s ) − s n − 1 y ( 0 ) − s n − 2 d y ( 0 ) d t − ⋯ − y ( n − 1 ) ( 0 ) \mathcal{L} \left\{ \frac{d^n y(t)}{dt^n} \right\} = s^n Y(s) - s^{n-1} y(0) - s^{n-2} \frac{dy(0)}{dt} - \dots - y^{(n-1)}(0) L{dtndny(t)}=snY(s)sn1y(0)sn2dtdy(0)y(n1)(0)

对于每个导数项,拉普拉斯变换会产生相应的 s s s-域表达式。 Y ( s ) Y(s) Y(s) y ( t ) y(t) y(t) 的拉普拉斯变换, y ( 0 ) , y ′ ( 0 ) , … y(0), y'(0), \dots y(0),y(0),是初始条件。

  • 假设有一个二阶微分方程:

d 2 y ( t ) d t 2 + 3 d y ( t ) d t + 2 y ( t ) = f ( t ) \frac{d^2 y(t)}{dt^2} + 3\frac{d y(t)}{dt} + 2 y(t) = f(t) dt2d2y(t)+3dtdy(t)+2y(t)=f(t)

应用拉普拉斯变换后:

s 2 Y ( s ) − s y ( 0 ) − y ′ ( 0 ) + 3 ( s Y ( s ) − y ( 0 ) ) + 2 Y ( s ) = F ( s ) s^2 Y(s) - s y(0) - y'(0) + 3(s Y(s) - y(0)) + 2 Y(s) = F(s) s2Y(s)sy(0)y(0)+3(sY(s)y(0))+2Y(s)=F(s)

3. 代数方程求解

将变换后的方程整理成 Y ( s ) Y(s) Y(s) 的代数方程,通常是一个关于 Y ( s ) Y(s) Y(s) 的代数方程:

Y ( s ) ( s 2 + 3 s + 2 ) − s y ( 0 ) − y ′ ( 0 ) − 3 y ( 0 ) = F ( s ) Y(s) \left( s^2 + 3s + 2 \right) - s y(0) - y'(0) - 3y(0) = F(s) Y(s)(s2+3s+2)sy(0)y(0)3y(0)=F(s)

然后解这个代数方程,求出 Y ( s ) Y(s) Y(s) 的表达式。对于上面的例子,解出 Y ( s ) Y(s) Y(s)

Y ( s ) = F ( s ) + s y ( 0 ) + y ′ ( 0 ) + 3 y ( 0 ) s 2 + 3 s + 2 Y(s) = \frac{F(s) + s y(0) + y'(0) + 3 y(0)}{s^2 + 3s + 2} Y(s)=s2+3s+2F(s)+sy(0)+y(0)+3y(0)

4. 应用部分分式分解(如有必要)

如果得到的 Y ( s ) Y(s) Y(s) 是一个有理函数(分子和分母都是多项式),通常需要使用部分分式分解来将 Y ( s ) Y(s) Y(s) 分解成简单的分式。这对于拉普拉斯反变换非常重要,因为简单的分式更容易找到其逆变换。

  • 例如,如果得到:

Y ( s ) = 1 ( s + 1 ) ( s + 2 ) Y(s) = \frac{1}{(s+1)(s+2)} Y(s)=(s+1)(s+2)1

  • 可以进行部分分式分解:

1 ( s + 1 ) ( s + 2 ) = A s + 1 + B s + 2 \frac{1}{(s+1)(s+2)} = \frac{A}{s+1} + \frac{B}{s+2} (s+1)(s+2)1=s+1A+s+2B

然后解出 A A A B B B,得到 Y ( s ) Y(s) Y(s) 的分式形式。

5. 进行拉普拉斯逆变换

一旦得到 Y ( s ) Y(s) Y(s),就可以通过查找标准的拉普拉斯变换对照表或使用逆变换公式,将 Y ( s ) Y(s) Y(s) 转换回时域函数 y ( t ) y(t) y(t)

  • 例如,如果:

Y ( s ) = 1 s + 1 Y(s) = \frac{1}{s+1} Y(s)=s+11

  • 可以使用拉普拉斯变换对照表得出逆变换:

y ( t ) = e − t y(t) = e^{-t} y(t)=et

  • 以下是拉普拉斯变换常见函数的对照表:
函数 f ( t ) f(t) f(t)拉普拉斯变换 L { f ( t ) } \mathcal{L}\{f(t)\} L{f(t)}
1 1 1 1 s \frac{1}{s} s1
t t t 1 s 2 \frac{1}{s^2} s21
t n t^n tn (n为整数) n ! s n + 1 \frac{n!}{s^{n+1}} sn+1n!
e a t e^{at} eat 1 s − a \frac{1}{s - a} sa1
sin ⁡ ( a t ) \sin(at) sin(at) a s 2 + a 2 \frac{a}{s^2 + a^2} s2+a2a
cos ⁡ ( a t ) \cos(at) cos(at) s s 2 + a 2 \frac{s}{s^2 + a^2} s2+a2s
e a t sin ⁡ ( b t ) e^{at} \sin(bt) eatsin(bt) b ( s − a ) 2 + b 2 \frac{b}{(s-a)^2 + b^2} (sa)2+b2b
e a t cos ⁡ ( b t ) e^{at} \cos(bt) eatcos(bt) s − a ( s − a ) 2 + b 2 \frac{s-a}{(s-a)^2 + b^2} (sa)2+b2sa
δ ( t ) \delta(t) δ(t) 1 1 1
u ( t ) u(t) u(t) (单位阶跃函数) 1 s \frac{1}{s} s1
u ( t − a ) u(t-a) u(ta) (延迟单位阶跃函数) e − a s s \frac{e^{-as}}{s} seas
1 t \frac{1}{t} t1 ln ⁡ ( s ) \ln(s) ln(s)
e a t t n e^{at} t^n eattn n ! ( s − a ) n + 1 \frac{n!}{(s-a)^{n+1}} (sa)n+1n!

6. 考虑初始条件

在进行拉普拉斯逆变换时,确保考虑初始条件。初始条件(如 y ( 0 ) y(0) y(0), y ′ ( 0 ) y'(0) y(0) 等)在解的过程中通过拉普拉斯变换的公式已经引入,因此最终解中将包含这些初始条件对时域解的影响。

7. 最终解

最后,得到微分方程的解,通常是:

y ( t ) = L − 1 { Y ( s ) } y(t) = \mathcal{L}^{-1} \left\{ Y(s) \right\} y(t)=L1{Y(s)}

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