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Search-based Path Planning Methods
Path Finding Problem
一般来说指标有距离，耗费时间，能量，或者多目标。
左图是拓扑地图，蓝色的点就是顶点，绿色的线是连接关系。最后得到的是一个从哪里走的一个最优，并非精细解。
右图是栅格地图，这个搜索出来的是在相对分辨率比较高的情况下的最优路径。
路径搜索问题的输入输出是什么：
输入：给出一副由节点和边构成的图论上的图，起点和终点
输出：返回一条由节点和边组成的path
Graph Basic
无向图（可以从节点A-B，也可以B-A）、有向图（可以从A-B，但是不可以B-A）、带权重的图（有了每条边的代价，来定义哪条路最优）
Some ways to Construct Graph
基于实现的效果来定制图。
栅格地图：每个顶点就描述栅格中心世界坐标系下的坐标，有天然的连接关系，与周围八个节点天生连接。
概率路图：通过采样得到的，采样顶点，通过规则，选择边。
state graph sampled from control space ：运动基元构成的，给定转角和速度，通过积分的方式得到一小段轨迹。
state graph sampled from state space：给定起点终止顶点，根据逆动力学来构造运动基元。
Graph Traversal Algorithm
BFS
队列，先进先出，层序遍历。
算法输入是：一幅图，起始节点、终止节点。
输出是：从终点回溯到起点的最短路径。
步骤：先定义队列Q，然后把起始节点加入到队列中，然后把起始节点标记成已访问。
主循环：终止条件：队列Q没有节点，也就是所有节点都访问过了，另外一个条件式访问的节点是终点。
弹出队列的第一个节点，依次访问节点周围的邻居节点，如果节点没有访问过，就把节点加入到队尾中，并且把父节点标记成当前节点，并且把这个节点标记成已访问的状态。不断循环，就可以遍历到所有节点，如果存在可行路径，一定能找到。
BFS Search Process
Summary
1、会相同的探索所有的方向
2、如果所有边的权重为1，那么BFS搜索出来的路径就是cost最优的路径。
Dijkstra
维护了一个新的变量g(n)，g(n)是从起始节点到当前节点n累计的代价，访问的是在openset中累计代价最小的那个节点去访问，采用贪心的思想。
Priority queue
优先级队列，为容器赋予优先级。
Algorithm Dijkstra
输入：有个图，有个起点的节点和终点节点
输出：一条从终点节点向起点节点回溯得到的最短路径
Dijkstra Search Process
Summary
优点：
1、可以获得到起点到任何节点的最短路径
2、满足最优性
缺点：
1、无启发函数
A* Algorithm
Core ideas
Dijkstra在搜索的过程中是不知道终点信息的，搜索效率不高。A*算法设计一个到目标点的启发式函数，此时用f来描述每个节点的cost（f = g + h）。
这里可以简单的画个图，如图所示，Dijkstra会浪费一部分计算资源去扩展与终点较远的节点，对于A*算法会更有目的性一些。
A* Search Process
Heuristic Function Design
启发式函数的设计和具体任务有关系，如果说搜索问题的最优指标和距离有关系的话，那么可以用下面这几种距离来定义启发式函数。
Euclidian distance其实对应的是一个二范数，在几何上就是直线距离。
Manhattan distance在数学上就是一范数。
Great circle distance描述的是球面上两点的最短路径，对应于是弧长的概念。
Optimality
如何设计启发式函数能保证A*算法的最优性：heuristic function不能高于costs。也就是估计值需要小于真实值。如果满足这一点，那么A*算法一定能找到最优解的，且比Dijkstra快。
What’s Wrong with Overestimated Heuristics?
对于上图而言，根据A*的逻辑，选择ACD这个路径，但是真实情况是ABD的代价最小，出现这样的计算错误是由于B的h值大于真实的cost。
Heuristic Function Design in Gridmap
对于八连通的形式，用Manhattan distance会高估cost，可能导致找不到最优解。欧式距离可以使用。
Efficiency and Accuracy
Summary
Dynamic Programming
What is Dynamic Programming
对于一个动态规划的问题，具有
1、有一个最优的子结构
2、对于所有的子问题，有很多是重复的。（这里相当于，如果一个子问题之前计算过了，那么就将结果保存起来，后续可以通过查表的形式，不用重复计算）
Tiny Example of Dynamic Programming
Dynamic Programming in Path Search
Sampling-based Planning Methods
General Recipe
Probabilistic Roadmap (PRM)
PRM
1、撒点来学习出图的结构，得到一个graph
2、用图搜索来搜索出最优的路径
配置空间是指，在这样空间中规划的其实是一个质点，机器人的几何信息都被近似到forbidden space里面了。
对于图中的freespace来说，只要质点是在图中，那么可以忽略机器人几何形状的影响。
随机采样：依据某种分布，在一定范围内随