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题目

51. N 皇后

困难

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数组   回溯

按照国际象棋的规则，皇后可以攻击与之处在同一行或同一列或同一斜线上的棋子。

n 皇后问题 研究的是如何将 n 个皇后放置在 n×n 的棋盘上，并且使皇后彼此之间不能相互攻击。

给你一个整数 n ，返回所有不同的 n 皇后问题 的解决方案。

每一种解法包含一个不同的 n 皇后问题 的棋子放置方案，该方案中 'Q' 和 '.' 分别代表了皇后和空位。

示例 1：

输入：n = 4
输出：[[".Q..","...Q","Q...","..Q."],["..Q.","Q...","...Q",".Q.."]]
解释：如上图所示，4 皇后问题存在两个不同的解法。

示例 2：

输入：n = 1
输出：[["Q"]]

提示：

• 1 <= n <= 9

思路和解题方法

首先，定义了一个名为 Solution 的类。其中：

• ans：成员变量，用于记录所有可行的 N 皇后方案；
• backtracking：回溯函数，用来尝试放置 N 个皇后；
• isvalid：函数，用于检查当前位置是否可放置皇后；
• solveNQueens：主函数，使用回溯法求解 N 皇后问题。

在 backtracking 函数中：

• 当已经成功放置 N 个皇后时，将当前的棋盘加入答案数组 ans 中。
• 对于每一行，在第 col 列尝试放置皇后，如果该格子可行，则标记上皇后，继续向下一行进行搜索，搜索完后回溯到上一步位置并取消标记；
• 搜索过程中，调用函数 isvalid 进行当前位置是否可放的判断。

在 isvalid 函数中：

• 检查当前列是否已经有皇后；
• 检查左上方是否已经有皇后；
• 检查右上方是否已经有皇后；
• 如果以上均未出现皇后，则说明该位置可放置皇后，返回真。

而在主函数 solveNQueens 中：

• 清空答案数组 ans，并定义初始棋盘状态 chessboard；
• 调用回溯函数 backtracking 在 chessboard 中查找所有可行的 N 皇后方案；
• 返回答案数组 ans。

复杂度

        时间复杂度:

                O(n!)

算法的时间复杂度为 O(n!)，其中 n 表示棋盘大小。因为每一行只能放置一个皇后，所以在搜索下一行的时候，需要排除已经放置的皇后所在的列和两条对角线上的位置，因此每一行可选的位置数是 n，总的搜索次数是 n×(n−2)×(n−4)×⋯1=n!。

        空间复杂度

                O(n^2)

算法的空间复杂度是 O(n2)，因为需要使用一个 n×n 的二维数组 chessboard 来存储棋盘状态，同时还需要使用一个二维数组 ans 来存储所有可行的 N 皇后方案。

c++ 代码

class Solution {
public:vector<vector<string>> ans;  // 存储所有可行的 N 皇后方案void backtracking(int n, int row, vector<string> &chessboard){if (row == n)  // 若已成功放置 N 个皇后，将当前棋盘加入答案数组{ans.push_back(chessboard);return;}for (int col = 0; col < n; col++)  // 在当前行的每一列尝试放置皇后{if (isvalid(row, col, chessboard, n))  // 若当前位置可放置皇后{chessboard[row][col] = 'Q';  // 放置皇后backtracking(n, row + 1, chessboard);  // 继续下一行的搜索chessboard[row][col] = '.';  // 回溯到上一步，取消该位置的皇后标记}}}bool isvalid(int row, int col, vector<string> &chessboard, int n){for (int i = 0; i < row; i++){if (chessboard[i][col] == 'Q')  // 检查当前列是否已经有皇后return false;}for (int i = row - 1, j = col - 1; i >= 0 && j >= 0; i--, j--){if (chessboard[i][j] == 'Q')  // 检查左上方是否已经有皇后return false;}for (int i = row - 1, j = col + 1; i >= 0 && j < n; i--, j++){if (chessboard[i][j] == 'Q')  // 检查右上方是否已经有皇后return false;}return true;  // 当前位置可放置皇后}vector<vector<string>> solveNQueens(int n) {ans.clear();  // 清空答案数组vector<string> chessboard(n, string(n, '.'));  // 初始化棋盘backtracking(n, 0, chessboard);  // 调用回溯函数开始搜索return ans;  // 返回所有可行的 N 皇后方案}
};

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