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完全背包

有N件物品和一个最多能背重量为W的背包。第i件物品的重量是weight[i]，得到的价值是value[i] 。每件物品都有无限个（也就是可以放入背包多次），求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。

完全背包和01背包问题唯一不同的地方就是，每种物品有无限件。

假设背包最大重量为4。物品为：

重量	价值
物品0	1	15
物品1	3	20
物品2	4	30

每件商品都有无限个。

因此在01背包中，我们为了使每件物品只被加入背包一次，在内层遍历的时候我们选择了倒序遍历。但是在完全背包中，物品的数量是无限的，因此可以被添加多次，所以要从小到大去遍历。

// 先遍历物品，再遍历背包
for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品for(int j = weight[i]; j <= bagWeight ; j++) { // 遍历背包容量dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);}
}

其实还有一个很重要的问题，为什么遍历物品在外层循环，遍历背包容量在内层循环？

01背包中二维dp数组的两个for遍历的先后循序是可以颠倒了，一维dp数组的两个for循环先后循序一定是先遍历物品，再遍历背包容量。

在完全背包中，对于一维dp数组来说，其实两个for循环嵌套顺序是无所谓的！

因为dp[j] 是根据 下标j之前所对应的dp[j]计算出来的。 只要保证下标j之前的dp[j]都是经过计算的就可以了。

遍历物品在外层循环，遍历背包容量在内层循环，状态如图：

遍历背包容量在外层循环，遍历物品在内层循环，状态如图：

 

看了这两个图，大家就会理解，完全背包中，两个for循环的先后循序，都不影响计算dp[j]所需要的值（这个值就是下标j之前所对应的dp[j]）。

 518. 零钱兑换II

题目要求：给定不同面额的硬币和一个总金额。写出函数来计算可以凑成总金额的硬币组合数。假设每一种面额的硬币有无限个。

示例 1:

• 输入: amount = 5, coins = [1, 2, 5]
• 输出: 4

解释: 有四种方式可以凑成总金额:

• 5=5
• 5=2+2+1
• 5=2+1+1+1
• 5=1+1+1+1+1

思路

完全背包问题，容量就是amount，物品是coins。dp[i]表示组成i大小背包容量的方式数量。同时题目中强调凑成总金额的是组合，所以不强调元素之间的顺序。

状态转移方程就是：dp[i] += dp[j-coins[i]]，与昨天遇到的题目相同。

这个递推公式大家应该不陌生了，我在讲解01背包题目的时候在这篇494. 目标和 (opens new window)中就讲解了，求装满背包有几种方法，公式都是：dp[j] += dp[j - nums[i]];

class Solution {
public:int change(int amount, vector<int>& coins) {vector<int> dp(amount+1, 0);dp[0] = 1;for (int i = 0; i < coins.size(); ++i) {for (int j = coins[i]; j <= amount; ++j) {dp[j] += dp[j - coins[i]];}}return dp[amount];}
};

377. 组合总和 Ⅳ

题目要求：给定一个由正整数组成且不存在重复数字的数组，找出和为给定目标正整数的组合的个数。

示例:

• nums = [1, 2, 3]
• target = 4

所有可能的组合为： (1, 1, 1, 1) (1, 1, 2) (1, 2, 1) (1, 3) (2, 1, 1) (2, 2) (3, 1)

请注意，顺序不同的序列被视作不同的组合。

因此输出为 7。

思路

与上一个题目类似，但是本题是排序，强调序列的顺序。而上一个题目是组合，不强调顺序。

• 确定遍历顺序

个数可以不限使用，说明这是一个完全背包。

得到的集合是排列，说明需要考虑元素之间的顺序。

本题要求的是排列，那么这个for循环嵌套的顺序可以有说法了。、

如果求组合数就是外层for循环遍历物品，内层for遍历背包。

如果求排列数就是外层for遍历背包，内层for循环遍历物品。

如果把遍历nums（物品）放在外循环，遍历target的作为内循环的话，举一个例子：计算dp[4]的时候，结果集只有 {1,3} 这样的集合，不会有{3,1}这样的集合，因为nums遍历放在外层，3只能出现在1后面！

所以本题遍历顺序最终遍历顺序：target（背包）放在外循环，将nums（物品）放在内循环，内循环从前到后遍历。

class Solution {
public:int combinationSum4(vector<int>& nums, int target) {vector<int> dp(target+1, 0);dp[0] = 1;for (int i = 0; i <= target; ++i) { // 遍历背包for (int j = 0; j < nums.size(); ++j) { // 遍历物品if (i - nums[j] >= 0 && dp[i] < INT_MAX - dp[i - nums[j]]) {dp[i] += dp[i - nums[j]];}}}return dp[target];}
};

• 时间复杂度: O(target * n)，其中 n 为 nums 的长度
• 空间复杂度: O(target)

C++测试用例有两个数相加超过int的数据，所以需要在if里加上dp[i] < INT_MAX - dp[i - num]。

• Day43总结
• 背包问题的遍历顺序是一门学问，01背包物品只能用一次外层是物品内层倒叙是容量；
• 完全背包的组合问题不强调顺序，物品可以用无限次，外层是物品，内层是背包容积的正序；
• 完全背包的排列问题，强调顺序，外层是背包容积，内层是物品，这样大编号的物品也可以出现在前面。