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一、并查集原理

在一些应用问题中，需要将n个不同的元素划分成一些不相交的集合。开始时，每个元素自成一个单元素集合，然后按一定的规律将归于同一组元素的集合合并。在此过程中要反复用到查询某一个元素归属于那个集合的运算。适合于描述这类问题的抽象数据类型称为并查集(union-find set)。

二、并查集实现

常用操作：

1. 查找元素属于哪个集合 沿着数组表示树形关系以上一直找到根(即：树中中元素为负数的位置)
2. 查看两个元素是否属于同一个集合 沿着数组表示的树形关系往上一直找到树的根，如果根相同表明在同一个集合，否则不在
3. 将两个集合归并成一个集合 将两个集合中的元素合并 将一个集合名称改成另一个集合的名称
4. 集合的个数 遍历数组，数组中元素为负数的个数即为集合的个数。

实现：

#include<iostream>
#include<vector>
#include<map>using namespace std;template<class V>
class UnionFindSet
{
public://初始化UnionFindSet(const vector<V> & element){int n = element.size();//初始化集合_ufs.resize(n, -1);//初始化映射关系_element.resize(n);for (int i = 0; i < n; i++){_element[i] = element[i];_indexmap[element[i]] = i;}}//获取下标int GetIndex(const V& v){//通过映射获取if (_indexmap.find(v) != _indexmap.end())return _indexmap[v];return -1;}// 给一个元素的编号，找到该元素所在集合的名称int FindRoot(int index){//父下标为负数代表是该集合的根节点int root = index;while (_ufs[root] >= 0){//迭代root = _ufs[root];}//路径压缩 -- 将index -> 根上的点都连接到根节点上while(_ufs[index] > 0){int p = _ufs[index];_ufs[index] = root;		//改变父下标index = p;}return root;}//将两个元素合拼到同一个集合里bool Union(V v1, V v2){//获取下标int x1 = GetIndex(v1);int x2 = GetIndex(v2);//获取两个元素的根节点下标int root1 = FindRoot(x1);int root2 = FindRoot(x2);if (root1 == root2)return false;//小的并到大的里面 -- 减少路径长度if(abs(_ufs[root1]) < abs(_ufs[root2]))swap(root1,root2);//连接_ufs[root1] += _ufs[root2];	//每一个元素的下标初始为-1，根节点下标的绝对值代表这个集合元素个数_ufs[root2] = root1;return true;}// 数组中负数的个数，即为集合的个数size_t Count()const{//遍历+统计size_t ret = 0;for (int i = 0; i < _ufs.size(); i++){if (_ufs[i] < 0)ret++;}return ret;}private:map<V, int> _indexmap;	//通过元素找到映射的下标vector<V> _element;		//通过下标找到映射的元素vector<int> _ufs;		//集合
};

三、并查集的应用

使用并查集解决下面题目：
题目：省份数量

使用算法：并查集
将相连的城市放到一个集合里，最后统计集合的个数即可。

代码：

并查集代码
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class Solution {
public:int findCircleNum(vector<vector<int>>& isConnected) {//创建集合vector<int> v;for(int i = 0; i < n; i++)v.push_back(i);UnionFindSet<int> ufs(v);//遍历二维数组for(int i = 0; i < isConnected.size(); i++){for(int j = 0; j < isConnected[i].size(); j++){//相连进入一个集合if(isConnected[i][j] == 1){ufs.Union(i,j);}}}//返回集合数量return ufs.Count();}
};

但是在实际写题中手写一个并查集很浪费时间，所以一般提取核心思想部分融入我们的代码中，如使用一个数组模拟。

class Solution {
public:int findCircleNum(vector<vector<int>>& isConnected) {	int n = isConnected.size();//模拟并查集vector<int> _ufs(n,-1);// 给一个元素的编号，找到该元素所在集合的名称auto FindRoot = [&_ufs](int index){int n = index;while (_ufs[n] >= 0){n = _ufs[n];}return n;};for(int i = 0; i < n; i++){for(int j = 0; j < isConnected[i].size(); j++){//i j 相连if(isConnected[i][j] == 1){//查找i,j集合的根节点下标int root1 = FindRoot(i);int root2 = FindRoot(j);//不在一个集合，进行合并if(root1 != root2){_ufs[root1] += _ufs[root2];_ufs[root2] = root1;  }}}}//遍历，负数说明是一个集合的int ret = 0;for(int i = 0; i < n; i++){if(_ufs[i] < 0)ret++;}return ret;}
};