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背包问题

阅读小提示：这篇文章稍微有点长，希望可以对背包问题进行系统详细的讲解，在看的过程中如果有任何疑问请在评论区里指出。因为篇幅过长也可以进行选择性阅读，读取自己想要的那一部分即可。

前言

背包问题可以看作动态规划系列入门的一个开端，欢迎开启动态规划之旅，在正式学习之前，我想说的是，动态规划真的不难，与贪心算法比较，动态规划有自己的多种板子，也有自己的多种套路；与高级数据结构比较，动态规划的代码量真的非常友好；与字符串类算法比较，动态规划没有那么抽象，ok话不多说，开始吧。
首先介绍一下动态规划的步骤（我自己总结的，自己用起来感觉还不错，y总也有介绍过闫式dp分析法，大家感兴趣可以看一看，怎么方便怎么来）
求解动态规划有两个大的阶段，分别是定义dp数组和推导状态转移方程。大家觉得这两个哪个重要呢？诚然状态转移方程是动态规划的关键，但是我在做题的过程中感受到当你的dp数组定义正确了，状态转移方程的推导就是自然而然的事情，所以对我来说，最关键的是定义dp数组。我们可以按照下面的步骤定义dp数组。
第一步：缩小规模。大家在大学学到动态规划时，一般都会拿来和贪心比，和分治比，无论哪一个我们都不能一口吃个胖子，都是从最基础的那个地方开始，一步一步往下走，最终走到终点。既然要缩小规模，那必然要有一个维度来定义当前的规模，放在背包问题里，规模就是考虑的物品的个数，那么用一个维度就可以了，放在区间dp里，规模是区间的大小，而不同的区间结果是不一样的，所以需要两个维度来表示区间的左右端点。
第二步：限制。放在背包问题里，限制就是背包的容量，你选的物品的总体积不能超过当前背包容量，所以你需要一个维度来表示当前的体积。
第三步：写出dp数组。走到这里，根据规模和限制定义了dp数组，dp[i][j]表示当前考虑了前i个物品，背包容量为j时能够装的最大价值。我们求的就是最大价值，那么dp数组对应的值就是最大价值，一般和所求是一样的，求什么就记录什么。
第四步：修改dp数组。这一步就是在写状态转移方程时，你发现定义的dp数组维度少了，还需要其它信息，那么这个时候就是需要什么往dp数组里面加什么，即增加维度，但是要注意一点，一般dp数组的维度和时间复杂度是正相关的，维度过多，很有可能超时。

01背包

定义dp数组
第一步：缩小规模。考虑n个物品，那我就先考虑1个物品，在考虑2个物品…，需要一个维度表示当前考虑的物品个数。
第二步：限制。所选物品个数不能超过背包容量，那么需要一个维度记录当前背包的容量。
第三步：写出dp数组。dp[i][j]表示当前考虑了前i个物品，背包容量为j时的最大价值。
第四步：推状态转移方程。dp[i][j]应该从哪里转移过来呢，必然是从前i-1个物品转移，我要考虑两种情况，对于第i个物品，可以选择要它，也可以不要它，如果要第i个物品，我就需要背包里面给我预留出第i个物品的体积，也就是从a[i-1][j-v[i]]转移，同时也能获得该物品的价值。如果不要第i个物品，那么之前从前一个状态相同容量的背包转移过来就行，即a[i-1][j]。
综上状态转移方程如下
a[i][j] = max(a[i-1][j],a[i-1][j-v[i]]+w[i])
考虑写代码了
第一步：确定好遍历顺序，对于背包问题，一般第一个for遍历规模，第二个for遍历限制。

for(int i = 1;i <= n;i++) {for(int j = 1;j <= m;j++) {dp[i][j] = dp[i-1][j];//为什么要在这里转移，因为这个转移是一定会发生的，而另一个转移不一定会发生if(j>=v[i])dp[i][j] = Math.max(dp[i-1][j-v[i]]+w[i], dp[i][j]);}}

第二步：考虑是否要对dp数组初始化，这里不需要，因为最开始的状态考虑前0个物体，它的值就是0，不需要管。
全部代码如下，

import java.util.Scanner;
public class Main {
public static void main(String[] args) {Scanner scanner = new Scanner(System.in);int n = scanner.nextInt();int V = scanner.nextInt();int[] v = new int[n+1];int[] w = new int[n+1];for (int i = 1; i < w.length; i++) {v[i] = scanner.nextInt();w[i] = scanner.nextInt();}int[][] dp = new int[n+1][V+1];
//	for (int i = 0; i < dp.length; i++) {
//		dp[0][i] = 1;
//	}for (int i = 1; i < dp.length; i++) {for (int j = 0; j < V+1; j++) {dp[i][j] = Math.max(dp[i][j], dp[i-1][j]);if(v[i]<=j) {dp[i][j] = Math.max(dp[i][j], dp[i-1][j-v[i]]+w[i]);}}}System.out.println(dp[n][V]);
}
}

考虑对dp数组进行维度优化，这里的优化并不会降低它的时间复杂度，但是可以减低空间复杂度，提高空间利用率，并且它也可以算是滚动dp的一个例子，而且里面有一个思想在后续做题的过程中也需会用到！
我们考虑一下在转移的过程中我只用了a[i]和a[i-1]对于a[i-2],a[i-3]我后续都用不到了，所以没有必要存它，考虑如果我只用一个一维的dp，思路还是一样的，但是代码该怎么写。
令dp[i]表示背包容量为i时最多能容纳的物品价值。自己尝试把代码里表示物品个数的那一维删掉，就成了

import java.util.Scanner;
public class Main {
public static void main(String[] args) {Scanner scanner = new Scanner(System.in);int n = scanner.nextInt();int V = scanner.nextInt();int[] v = new int[n+1];int[] w = new int[n+1];for (int i = 1; i < w.length; i++) {v[i] = scanner.nextInt();w[i] = scanner.nextInt();}int[] dp = new int[V+1];for (int i = 1; i < dp.length; i++) {for (int j = 0; j < V+1; j++) {//dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j]);if(v[i]<=j) {dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j-v[i]]+w[i]);}}}System.out.println(dp[V]);
}
}

直接这样提交可以过吗？当然不可以，我们还记得我们的题目是每个物品只有一个吗？我们分析一下dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j-v[i]]+w[i]);
假设当前遍历到了i=5，假设j=5时，dp[j]=dp[j-v[i]]+w[i].说明此时我们拿了第5个物品，当遍历到j=10时假设此时v[i]=5，dp[10]=dp[10-5]+w[i]=dp[5]+w[i]，可以看见dp[10]是从dp[5]转移的，但是我们的本意是不是dp[5]表示的应该是i=4时的结果，但是刚刚我们也看见了，遍历到dp[10]时，dp[5]已经被更新了，它不是i=4时的dp[5]，所以会出错。好，我们再深究一下，出错的结果是啥？dp[5]是不是已经选了物品5了？此时dp[10]==dp[5]+w[i]又选了一次物品5，说明物品5被选了多次，而题目要求每个物品只能选一次，所以不符合题意。如果改一改，改成每个物品可以选无数次，那么这里就是没有问题，记住这一点。
回到这个题目，那我们应该怎么改，在求dp[10]时，会用到dp[5]，归纳一下，在求dp[i]时，会用到dpj，我们在遍历到i之前不能动dp[j]。也就是说，先遍历大的数，所以我们直接倒序遍历就行了。来看代码吧，

	for (int j = 0; j < n; j++) {for (int i = k; i >= v[j]; i--) {//i<v[j]时不能转移，所以直接遍历到v[j]就行，这样后面就不用if语句判断是否能转移了。dp[i] = Math.max(dp[i], dp[i - v[j]] + w[j]);}}

全部代码

import java.io.IOException;
import java.util.Scanner;
public class Main {public static void main(String[] args) throws IOException {Scanner scanner = new Scanner(System.in);int n = scanner.nextInt();int k = scanner.nextInt();int[] v = new int[n];int[] w = new int[n];for (int i = 0; i < n; i++) {v[i] = scanner.nextInt();w[i] = scanner.nextInt();}int[] dp = new int[k + 1];for (int j = 0; j < n; j++) {for (int i = k; i >= v[j]; i--) {// System.out.println("---");dp[i] = Math.max(dp[i], dp[i - v[j]] + w[j]);}}System.out.println(dp[k]);}
}

借此机会，再讲一下滚动dp，他不算是单独的一种dp，只是对dp的一种空间优化方法，防止爆内存。刚刚讲过，在dp数组遍历的过程中我只用到了当前为i时的状态和前一个为i-1时的状态，其它的都不要了，所以其实我可以把dp[n+1][V+1]，变成dp[2][V+1]，如果dp[0][V+1]表示考虑了前0个物品的状态，遍历到i=1时，用dp[1][V+1]表示考虑了前1个物品的状态，遍历到i=2时，前0个物品的状态我不需要记录了，此时可以拿dp[0][V+1]表示考虑了前2个物品的状态，如此循环往复。可以发现这是交替使用的，那么数字里面什么是交替出现的？奇偶数呀，所以可以用奇偶数来判断，如dp[i&1][j]和dp[(i-1)&1][j]。在使用滚动dp时，其实修改很好修改，只要在你原来的代码里，注意是使用二维数组的那个代码哈，把dp[i][j]和dp[i-1][j]改成dp[i&1][j]和dp[(i-1)&1][j]就行了。因此它也不易出错，比起刚刚介绍的直接把dp数组减少一维。看代码吧。

import java.io.IOException;
import java.util.Scanner;
public class Main {public static void main(String[] args) throws IOException {Scanner scanner = new Scanner(System.in);int n = scanner.nextInt();int k = scanner.nextInt();int[] v = new int[n + 1];int[] w = new int[n + 1];for (int i = 1; i <= n; i++) {v[i] = scanner.nextInt();w[i] = scanner.nextInt();}int[][] dp = new int[2][k + 1];for (int i = 1; i <= n; i++) {for (int j = 0; j <= k; j++) {// System.out.println(i + " " + j + " ---------");if (j >= v[i]) {dp[i&1][j] = Math.max(dp[(i - 1)&1][j], dp[(i - 1)&1][j - v[i]] + w[i]);} else {// System.out.println(i + " " + j);dp[i&1][j] = dp[(i - 1)&1][j];}}}System.out.println(dp[n&1][k]);}
}

完全背包

完全背包和01背包的不同在于完全背包对每个物品的可选次数没有限制，那么在遍历的时候就会比原来多出一个维度，dp数组的定义还是一样的，dp[i][j]表示考虑前i个物品当前背包容量为j时的最大价值。那么可选物品不受限制如何体现呢？
01背包在递推dp数组时有两个嵌套for循环，第一层遍历当前考虑前i个物品，第二层遍历当前背包的容量为j，那么我们需要加入一个维度，这个维度表示选择j2个第i个物品，完整代码如下

import java.util.Scanner;
public class Main {public static void main(String[] args) {Scanner scanner = new Scanner(System.in);int n = scanner.nextInt();int k = scanner.nextInt();int[] v = new int[n + 1];int[] w = new int[n + 1];for (int i = 1; i <= n; i++) {v[i] = scanner.nextInt();w[i] = scanner.nextInt();}int[][] dp = new int[n + 1][k + 1];for (int i = 1; i <= n; i++) {for (int j = 1; j < k + 1; j++) {for (int j2 = 0; j2 * v[i] <= j; j2++) {dp[i][j] = Math.max(dp[i][j], dp[i - 1][j - j2 * v[i]] + j2 * w[i]);}}}System.out.println(dp[n][k]);}
}

此时的复杂度就是$O（n^3）$。我们来回顾一下，我们之前有没有类似的代码。在将01背包压缩成1维时，我们是不是有一种错误写法，第二维如果正序遍历会导致同一个物品被多次选择，这对于01背包来说是不合题意的，但是正好符合完全背包的要求，所以之前那个错误的代码完全可以用到完全背包上，并且这个的时间复杂度只需要$O（n^2）$，代码如下。

import java.util.Scanner;public class Main {public static void main(String[] args) {Scanner scanner = new Scanner(System.in);int n = scanner.nextInt();int k = scanner.nextInt();int[] v = new int[n + 1];int[] w = new int[n + 1];for (int i = 1; i <= n; i++) {v[i] = scanner.nextInt();w[i] = scanner.nextInt();}int[] dp = new int[k + 1];for (int i = 1; i <= n; i++) {
//			for (int j = 0; j < dp.length && j >= v[i]; j++) {for (int j = v[i]; j < dp.length; j++) {
//				System.out.println(dp[i] + " " + (dp[j - v[i]] + w[i]) + " " + i + " " + j);dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - v[i]] + w[i]);}}
//		for (int i = 0; i < dp.length; i++) {
//			System.out.print(dp[i] + " ");
//		}System.out.println(dp[k]);}
}