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COURSE1 WEEK3

逻辑回归

逻辑回归主要用于分类任务

只有两种输出结果的分类任务叫做二元分类，例如预测垃圾邮件，只能回答是或否

实际上，在逻辑回归中，我们要做的任务就类似于在数据集中画出一个这样的曲线，用来作为类别的界限

在上图中，由于我们用的是线性回归模型，最终的输出是是一个连续的离散的值，而我们的二分类任务是输出0和1，代表不是和是，因此还需要将上图中的输出加入到$sigmoid$函数中，映射到$[0,1]$区间内

基本流程如下所示：

逻辑回归方程定义式
$$f_{\vec{w},b}(\vec{x})=\frac{1}{1+e^{-(\vec{w}\cdot \vec{x}+b)}}$$
观察$Sigmoid$函数，我们可以观察到：

• 当输入值小于0，即$z<0\to wx+b<0$时，最终的输出趋近于0，代表负类
• 当输入值大于0，即$z>0\to wx+b>0$时，最终的输出趋近于1，代表正类

因此，我么可以找到决策边界，即$\vec{w}\cdot \vec{x}+b=0$

而对于更复杂的数据，我们可以使用特征工程的方法对输入进行多项式变换组合，以满足实际的需求

逻辑回归中的损失函数

逻辑回归中不再使用平方误差函数，因为通过观察我们逻辑回归的函数定义式，带有指数项比较复杂，因此带入平方误差损失函数中，图像如下，

即是一个非凸的函数，存在很多局部最优的地方，容易使得我们的梯度下降算法效果不理想

在逻辑回归中，使用的是交叉熵损失函数，可以用来衡量预测的结果与实际的结果的一致性程度
$$L(f_{\vec{w},b}({\vec{x}}^{(i)}),y^{(i)})=\{\begin{array}{r}-\log (f_{\vec{w},b}({\vec{x}}^{(i)}))if{y}^{(i)}=1\\ -\log (1-f_{\vec{w},b}({\vec{x}}^{(i)}))if{y}^{(i)}=0\end{array}$$
如下函数图像 $-log(1-f)$ ，可以发现，当$y^{(i)}=0$时

• 如果预测的结果$\hat{y}=0$，那么损失值会为0
• 如果预测结果$\hat{y}=1$，那么损失值特别大
  

如下函数图像 $-log(f)$ ，可以发现，当$y^{(i)}=1$时

• 如果预测的结果$\hat{y}=0$，那么损失值会为特别大
• 如果预测的结果$\hat{y}=1$，那么损失值为0

因此，通过这种损失函数，可以发现其是一个凸函数，因此可以使用梯度下降得到一个可靠的答案

由于我们处理的是一个二分类任务，即 $y$ 要么取 0 要么取 1 ，因此，我们的损失函数还可以简化为：
$$L(f_{\vec{w},b}({\vec{x}}^{(i)}),y^{(i)})=-y^{(i)}\log (f_{\vec{w},b}({\vec{x}}^{(i)}))-(1-y^{(i)})\log (1-f_{\vec{w},b}({\vec{x}}^{(i)}))$$
因此，当 $y^{(i)}=1$时，前面的式子有效，当 $y^{(i)}=0$时，后面的式子有效

逻辑回归中的梯度下降

参数的更新

同样，在逻辑回归中，也可以使用向量化的操作来加快梯度下降的收敛速度

过拟合问题

在训练过程中，经常会遇到过拟合的问题，导致模型的性能不好

过拟合与欠拟合

欠拟合

由于模型使用的不当等因素，使得模型不饿能很好的拟合训练集，算法无法捕捉训练数据中的重要特征模式，例如在预测房价时，如果我们使用线性模型，且不使用特征工程的方法时，就可能会出现欠拟合的现象

模型的泛化能力

模型的泛化能力是指模型的性能比较好，能够适用于大多数数据，即使在它一千从未见到过的全新示例上也能做出良好的预测

过拟合

过拟合是指我们的模型可能过于复杂，非常适合训练数据，在训练集上的表现性能非常优秀，但是在新的数据集上，不能做出良好精确的预测，这种模型不能进行推广到其他数据集上

过拟合与欠拟合的现象也会出现在分类任务里

解决过拟合的方法

• 收集更多的数据进行训练，即使用大量的数据样例进行训练

• 观察是否可以使用更少的特征，减少一些多项式特征的使用

  可以通过将特征前的参数设置为0来去除该特征

• 加入正则化项——鼓励学习算法缩小参数值，而不必要求参数为0

  可以保留所有特征，但只是防止特征产生过大的影响，有时也会导致过拟合

正则化技术时实际应用中一种非常常用的方法

正则化

正则化的方法就是对损失函数进行适当的修改，即对特征进行惩罚

例如我们的模型函数如下所示
$$f=w_{1}x+w_2{x}_2^2+w_3{x}^3+w_4{x}^4+b$$
损失函数如下所示：
$$\min \frac{1}{2m}\sum _{i=1}^m(f(x^{(i)})-y^{(i)}{)}^2$$
由于 $x^3$和 $x^4$的出现，可能会导致我们的模型出现过拟合的现象，因此我们要对这两个特征的系数，即 $w_3$和$w_4$进行正则化惩罚，从而，将损失函数改变如下：
$$\min \frac{1}{2m}\sum _{i=1}^m(f(x^{(i)})-y^{(i)}{)}^2+1000w_3^2+1000w_4^2$$
因此通过模型的不断训练，$w_3$ 和 $w_4$ 就会变得比较小，使得我们的模型具有较好的泛化能力

且一般而言，我们只对特征前的参数进行正则化处理，而不对偏置 $b$ 进行正则化处理

而在实际中，往往会有成千的特征，而我们不知道哪些特征是重要的，因此正则化的典型实现方式就是惩罚所有的特征

正则化通用公式：
$$J(\vec{w},b)=\min \frac{1}{2m}\sum _{i=1}^m(f(x^{(i)})-y^{(i)}{)}^2+\frac{\lambda }{2m}\sum _{j=1}^n{w}_j^2$$
其中，$\lambda$ 是正则化参数

当 $\lambda$ 非常大时，我们的模型参数 $w_j$ 都趋近于0，此时模型的输出就等于偏置 $b$，出现欠拟合现象

当 $\lambda$非常小时（$\lambda =0$），就相当于没有做正则化操作，此时我们的模型就会出现过拟合现象

因此，我们的任务就是要选择一个合适的正则化参数

用于线性回归的正则化

使用正则化后，我们的损失函数分为了两个部分：

• 损失项
• 正则化项

因此，使用梯度下降更新参数的表达式变为：
$$w_j=w_j-\alpha \frac{\partial }{\partial w_j}=w_j-\alpha [\frac{1}{m}\sum _{i=1}^m(f_{\vec{w},b}({\vec{x}}^{(i)})-y^{(i)})x_j^{(i)}+\frac{\lambda }{m}{w}_j]$$
而偏置 $b$ 的更新公式不变

用于逻辑回归的正则化

对于逻辑回归，加入正则化后，损失函数变为：
$$J(\vec{w},b)=-\frac{1}{m}\sum _{i=1}^m[y^{(i)}\log (f_{\vec{w},b}({\vec{x}}^{(i)}))-(1-y^{(i)})\log (1-f_{\vec{w},b}({\vec{x}}^{(i)}))]+\frac{\lambda }{2m}\sum _{j=1}^n{w}_j^2$$
使用梯度下降时，参数更新的变化和线性回归一样：
$$w_j=w_j-\alpha \frac{\partial }{\partial w_j}=w_j-\alpha [\frac{1}{m}\sum _{i=1}^m(f_{\vec{w},b}({\vec{x}}^{(i)})-y^{(i)})x_j^{(i)}+\frac{\lambda }{m}{w}_j]$$