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梯度下降法在神经网络中的应用
事先规定：
用 n n n 表示个数（维度）:
n [ 0 ] = n x n^{[0]}=n_x n[0]=nx ，表示单个训练样本 x x x 的元素个数；
n [ 1 ] n^{[1]} n[1] 表示隐藏层 1 1 1 的单元（节点）个数；
n [ 1 ] n^{[1]} n[1] 表示……
梯度下降法公式：
① w w w 和 b b b 参数随机初始化；
②计算预测值
③求导： d w [ 1 ] dw^{[1]} dw[1] 、 d b [ 1 ] db^{[1]} db[1] 、 d w [ 2 ] dw^{[2]} dw[2] 、 d b [ 2 ] db^{[2]} db[2] 。
④更新参数：
W [ 1 ] = W [ 1 ] − α ⋅ d W [ 1 ] b [ 1 ] = b [ 1 ] − α ⋅ d b [ 1 ] W [ 2 ] = W [ 2 ] − α ⋅ d W [ 2 ] b [ 2 ] = b [ 2 ] − α ⋅ d b [ 2 ] \begin{align*} &W^{[1]}=W^{[1]}-\alpha·dW^{[1]}\\ &b^{[1]}=b^{[1]}-\alpha·db^{[1]}\\ &W^{[2]}=W^{[2]}-\alpha·dW^{[2]}\\ &b^{[2]}=b^{[2]}-\alpha·db^{[2]} \end{align*} W[1]=W[1]−α⋅dW[1]b[1]=b[1]−α⋅db[1]W[2]=W[2]−α⋅dW[2]b[2]=b[2]−α⋅db[2]
第三步反向传播求导的详细步骤：
d Z [ 2 ] = A [ 2 ] − Y d W [ 2 ] = 1 m d Z [ 2 ] A [ 1 ] T d b [ 2 ] = 1 m n p . s u m ( d Z [ 2 ] , a x i s = 1 , k e e p d i m s = T r u e ) d Z [ 1 ] = W [ 2 ] T d Z [ 2 ] ∗ g [ 1 ] ′ ( Z [ 1 ] ) / / 这里的 ∗ 是元素对应相乘 d W [ 1 ] = 1 m d Z [ 1 ] X T / / 这里的转置是因为 W [ 1 ] 是由 w i [ 1 ] T 组成的 d b [ 1 ] = 1 m n p . s u m ( d Z [ 1 ] , a x i s = 1 , k e e p d i m s = T r u e ) \begin{align*} &dZ^{[2]}=A^{[2]}-Y\\ &dW^{[2]}=\frac{1}{m}dZ^{[2]}A^{[1]T}\\ &db^{[2]}=\frac{1}{m}np.sum(dZ^{[2]},axis=1,keepdims=True)\\ &dZ^{[1]}=W^{[2]T}dZ^{[2]}*g^{[1]'}(Z^{[1]})//这里的*是元素对应相乘\\ &dW^{[1]}=\frac{1}{m}dZ^{[1]}X^{T}//这里的转置是因为W^{[1]}是由w_i^{[1]T}组成的\\ &db^{[1]}=\frac{1}{m}np.sum(dZ^{[1]},axis=1,keepdims=True)\\ \end{align*} dZ[2]=A[2]−YdW[2]=m1dZ[2]A[1]Tdb[2]=m1np.sum(dZ[2],axis=1,keepdims=True)dZ[1]=W[2]TdZ[2]∗g[1]′(Z[1])//这里的∗是元素对应相乘dW[1]=m1dZ[1]XT//这里的转置是因为W[1]是由wi[1]T组成的db[1]=m1np.sum(dZ[1],axis=1,keepdims=True)
参数随机初始化
神经网络的参数 w i [ l ] w_i^{[l]} wi[l] 和不能像逻辑回归一样，初始化为零，否则梯度下降算法就会无效。
也不要将隐藏层中的所有节点参数都初始化成一样的，否则每个节点都在做相同的运算，毫无意义。
W [ 1 ] = n p . r a n d o m . r a n d n ( ( n [ 1 ] , n [ 0 ] ) ) ⋅ 0.01 / / 高斯分布随机变量再乘以 0.01 b [ 1 ] = n p . z e r o s ( ( n [ 1 ] , 1 ) ) W [ 2 ] = . . . b [ 2 ] = . . . \begin{align*} &W^{[1]}=np.random.randn((n^{[1]},n^{[0]}))·0.01~//高斯分布随机变量再乘以0.01\\ &b^{[1]}=np.zeros((n^{[1]},1))\\ &W^{[2]}=...\\ &b^{[2]}=... \end{align*} W[1]=np.random.randn((n[1],n[0]))⋅0.01 //高斯分布随机变量再乘以0.01b[1]=np.zeros((n[1],1))W[2]=...b[2]=...
通常情况下，会把参数随机初始化成很小很小的值，这也是乘以 0.01 0.01 0.01 的原因。
因为参数大的话， z z z 计算出来就会大， a a a 也会大，就会落在激活函数 σ ( z ) \sigma(z) σ(z) 或 t a n h ( z ) tanh(z) tanh(z) 的平缓区域，就会降低梯度下降法的速度，甚至形成梯度消失问题。