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news 2025/7/28 9:04:06

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集中式多输入多输出CMIMO雷达作为一种新体制雷达，能够实现对多个目标的同时多波束探测，在多目标跟踪领域得到了广泛运用。自从2006年学者Haykin提出认知雷达理论，雷达资源分配问题就成为一个有实际应用价值的热点研究内容。本文基于目标跟踪的后验克拉美罗下界PCRLB（posterior Cramer-Rao lower bound）实现了雷达多目标跟踪的功率资源分配。

1.目标运动模型

图1为CMIMO雷达对多个目标同时跟踪的场景示意图。

图1 CMIMO同时多波束跟踪

假设Q个彼此分离的目标做匀速直线CV运动，第q个目标在第k时刻的运动模型定义：

$\boldsymbol{x}_{k}^{q}=\boldsymbol{F}_{q} \boldsymbol{x}_{k-1}^{q}+\boldsymbol{u}_{k-1}^{q}$

其中 $\boldsymbol{x}_{k}^{q}=\left[x_{k}^{q}, \dot{x}_{k}^{q}, y_{k}^{q}, \dot{y}_{k}^{q}\right]^{\mathrm{T}}$ 为状态向量。

状态转移矩阵为：

$\boldsymbol{F}_{q}=\boldsymbol{I}_{2} \otimes\left[\begin{array}{ll} 1 & T \\ 0 & 1 \end{array}\right]$

$\boldsymbol{u}_{k-1}^{q}$ 为一个零均值的高斯白噪声，其协方差表示为：

$\boldsymbol{Q}_{k-1}^{q}=\boldsymbol{\kappa}_{q} \boldsymbol{I}_{2} \otimes\left[\begin{array}{ll} \frac{1}{3} T^{3} & \frac{1}{2} T^{2} \\ \frac{1}{2} T^{2} & T \end{array}\right]$

$\boldsymbol{\kappa}_{q}$ 是用来控制过程噪声大小的系数。

2.雷达量测模型

设CMIMO雷达坐标为（0, 0）。在k时刻对Q个目标进行跟踪，第q个目标对应量测和状态向量之间的转换关系表示为：

$\boldsymbol{z}_{q, k}=\boldsymbol{h}_{q, k}\left(\boldsymbol{x}_{k}^{q}\right)+\boldsymbol{v}_{q, k}$

其中 $\boldsymbol{v}_{q, k} \sim N\left(0, \boldsymbol{R}_{q, k}\right)$ 为量测噪声， $\boldsymbol{h}_{q, k}\left(\boldsymbol{.}\right)$ 为量测和状态向量之间的映射过程，分别为距离、速度与角度：

$\begin{array}{l} \boldsymbol{h}_{q, k}(\bullet)=\left[r_{q, k}(\bullet), f_{q, k}(\bullet), \varphi_{q, k}(\bullet)\right]^{\mathrm{T}} \\ \left\{\begin{array}{l} r_{q, k}\left(\boldsymbol{x}_{k}^{q}\right)=\sqrt{\left(x_{k}^{q}\right)^{2}+\left(y_{k}^{q}\right)^{2}} \\ f_{q, k}\left(\boldsymbol{x}_{k}^{q}\right)=-\frac{2}{\lambda} *\left(\dot{x}_{k}^{q}, \dot{y}_{k}^{q}\right)\binom{x_{k}^{q}}{y_{k}^{q}} / r_{q, k} \\ \varphi_{q, k}\left(\boldsymbol{x}_{k}^{q}\right)=\arctan 2\left(y_{k}^{q}\right) /\left(x_{k}^{q}\right) \end{array}\right. \end{array}$

量测噪声的协方差矩阵表示为：

$\begin{array}{l} \boldsymbol{R}_{q, k}=\operatorname{diag}\left(\boldsymbol{R}_{r_{q, k}}^{2}, \boldsymbol{R}_{f_{q, k}}^{2}, \boldsymbol{R}_{\varphi_{q k}}^{2}\right) \\ \left\{\begin{array}{l} \boldsymbol{R}_{r_{q, k}}^{2} \propto\left(\alpha_{q, k} P_{q, k}\left|\sigma_{k}^{q}\right|^{2}\right)^{-1} \\ \boldsymbol{R}_{f_{q, k}}^{2} \propto\left(\alpha_{q, k} P_{q, k}\left|\sigma_{k}^{q}\right|^{2}\right)^{-1} \\ \boldsymbol{R}_{\varphi_{q, k}}^{2} \propto\left(\alpha_{q, k} P_{q, k}\left|\sigma_{k}^{q}\right|^{2}\right)^{-1} \end{array}\right. \end{array}$

其中， $\sigma_{k}^{q}$ 为目标RCS， $P_{k,q}$ 为实际功率， $\alpha_{k,q}$ 为大小与距离4次方成反比的衰减系数。上式可以看出，在跟踪过程中，目标RCS和雷达发射参数均会影响量测协方差。

3.多目标跟踪PCRLB递推

跟踪滤波的无偏估计量与目标状态向量之间满足：

$\mathbb{E}_{x_{k}^{q}, \boldsymbol{x}_{g, k}}\left\{\left[\hat{x}_{k \mid k}^{q}\left(\boldsymbol{z}_{q, k}\right)-\boldsymbol{x}_{k}^{q}\right]\left[\hat{x}_{k \mid k}^{q}\left(z_{q, k}\right)-\boldsymbol{x}_{k}^{q}\right]^{\mathrm{T}}\right\} \geq \operatorname{FIM}^{-1}\left(\boldsymbol{x}_{k}^{q}\right)$

其中为 $\hat{x}_{k \mid k}^{q}\left(\boldsymbol{z}_{q, k}\right)$ 无偏估计量； $\mathbb{E}_{x_{k}^{q}, \boldsymbol{x}_{g, k}}$ 表示数学期望操作； ${FIM}^{-1}\left(\boldsymbol{x}_{k}^{q}\right)$ 表示PCRLB矩阵，对应逆矩阵为目标q所对应的Fisher Information Matrix。其递推公式为：

$\begin{array}{l} \operatorname{FIM}\left(\boldsymbol{x}_{k}^{q}\right)=\operatorname{FIM}_{P}\left(\boldsymbol{x}_{k}^{q}\right)+\operatorname{FIM}_{z}\left(\boldsymbol{x}_{k}^{q}\right) \\ =\left[\boldsymbol{Q}_{k-1}^{q}+\boldsymbol{F}_{q} \operatorname{FIM}^{-1}\left(\boldsymbol{x}_{k-1}^{q}\right) \boldsymbol{F}_{q}^{\mathrm{T}}\right]^{-1}+\boldsymbol{H}_{q, k}^{\mathrm{T}}\left(\hat{\boldsymbol{R}}_{q, k}\right)^{-1} \boldsymbol{H}_{q, k} \end{array}$

其中 $\operatorname{FIM}_{P}\left(\boldsymbol{x}_{k}^{q}\right)$ 表示目标状态先验分布对应的FIM， $\operatorname{FIM}_{Z}\left(\boldsymbol{x}_{k}^{q}\right)$ 为量测信息FIM。 $\boldsymbol{H}_{q, k}$ 表示雅克比矩阵： $\boldsymbol{H}_{q, k}^{\mathrm{T}}=\left[\nabla_{\chi_{k}^{g}} r_{q, k}, \nabla_{x_{k}^{g}} f_{q, k}, \nabla_{x_{k}^{g}} \varphi_{q, k}\right]$ 。对FIM求逆得到PCRLB矩阵：

$F_{P C R L B}\left(P_{k}^{q}, \boldsymbol{x}_{k}^{q}\right)=\operatorname{FIM}^{-1}\left(P_{k}^{q}, \boldsymbol{x}_{k}^{q}\right)$

其中 $P_{k}^{q}$ 为k时刻对第q个目标分配的功率资源， $F_{P C R L B}\left(P_{k}^{q}, \boldsymbol{x}_{k}^{q}\right)$ 对角线元素对应目标状态向量的无偏估计方差下界，可将其作为代价函数： $\mathbb{F}\left(P_{k}, \boldsymbol{x}_{k}^{q}\right)=\max \left(\sqrt{\operatorname{tr}\left\{F_{P C R L B}\left(P_{k}^{q}, \boldsymbol{x}_{k}^{q}\right)\right\}}\right)$ 。进一步地，可以跟踪实际物理约束构造资源调度模型，我们采用MinMax准则优化多目标跟踪精度。

MinMax-PCRLB优化模型可以建模为：

$\begin{array}{l} \min \left[\mathbb{F}\left(P_{k}, \boldsymbol{x}_{k}^{q}\right)\right] \\ \text { s.t. }\left\{\begin{array}{l} \left|P_{k}^{q}\right|_{1}=P_{\text {total }} \\ \bar{P}_{\min } \leq P_{k}^{q} \leq \bar{P}_{\max } \\ q=1,2, \ldots, Q \end{array}\right. \end{array}$

其中， $|.|_{1}$ 表示1范数。 $P_{\text {total }}$ 、 $\\ \bar{P}_{\max}$ 、 $\\ \bar{P}_{\min }$ 分别为总功率、最大分配功率与最小分配功率。已经证明上述问题是一个凸问题，可以通过典型的优化算法进行求解，得到下一帧的雷达资源调度方案。

4.仿真实验

CMIMO雷达对三个目标进行跟踪，利用扩展卡尔曼滤波或者无迹卡尔曼滤波算法进行跟踪，蒙特卡洛试验次数设置为100次。通过MATLAB进行仿真，能够得到如下结果：

图2 多目标与雷达的距离变化曲线图

图3 位置估计结果

图4 速度估计结果

图5 雷达资源调度结果

结合图2与图5可以看出，在跟踪前期，目标1距离雷达最远，系统为了保证最远目标的跟踪精度，分配绝大部分功率给目标1。随着目标1距离雷达越来越近，系统分配给目标1的功率逐渐减小。而目标2距离雷达越来越远，因此分配给目标2的功率越来越大。另外，目标3的距离一直较小，因此在跟踪全过程中，分配给目标3的雷达资源最少。

另外，从图3与图4中可以看出，系统对多个目标的运动参数的估计是收敛的，且PCRLB能够表征目标跟踪的估计下界。PCRLB能够指导雷达完成雷达资源的有效分配。如有代码问题，加UltraNextYJ交流。

部分代码如下：

%% PCRLB的计算与比较（用上一时刻进行迭代）
CR_pos_PCRLB = zeros(N_tracking,TAR_NUM);
CR_vel_PCRLB = zeros(N_tracking,TAR_NUM);
for tar_num = 1:TAR_NUMJ = inv(P_0);    % pcrlb初始化for k = 1:N_tracking% N为跟踪时间D11 = sum(d11_pcrlb(:,:,k,:,tar_num),4)./MC;    D12 = sum(d12_pcrlb(:,:,k,:,tar_num),4)./MC;D22 = sum(d22_pcrlb(:,:,k,:,tar_num),4)./MC;% PCRLBBound_CRLB = inv(J);% 位置和速度的PCRLB的计算CR_pos_PCRLB(k,tar_num) = sqrt(Bound_CRLB(1,1) + Bound_CRLB(3,3));   CR_vel_PCRLB(k,tar_num) = sqrt(Bound_CRLB(2,2) + Bound_CRLB(4,4));end
end
%% 计算跟踪过程对应的RMSE，将误差存入矩阵
position = zeros(N_tracking,MC,TAR_NUM);
velocity = zeros(N_tracking,MC,TAR_NUM);
rmse_position = zeros(N_tracking,TAR_NUM);
rmse_velocity = zeros(N_tracking,TAR_NUM);
for tar_num = 1:TAR_NUMfor i = 1:MCfor k = 1:N_trackingerror(:) = sV(:,k,i,tar_num) - eV(:,k,i,tar_num);% RMSEerror2(:) = error(:).^2;               error2_dis = error2(1) + error2(3);    error2_vel = error2(2) + error2(4);position(k,i,tar_num) = error2_dis;   velocity(k,i,tar_num) = error2_vel;endend
end
for tar_num = 1:TAR_NUMrmse_position(:,tar_num) = sqrt(sum(position(:,:,tar_num),2)./MC);  rmse_velocity(:,tar_num) = sqrt(sum(velocity(:,:,tar_num),2)./MC);
end