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数据结构-树

1.什么是树？

在计算机科学中，树是一种常用的非线性数据结构，用于表示具有层次关系的数据。与线性数据结构（如数组和链表）不同，树结构以节点（Nodes）和边（Edges）组成，通过根节点（Root Node）进行组织。每个节点可以有零个或多个子节点，形成一系列层级结构。

树的基本术语包括：

• 根节点（Root）：树的最上层节点，没有父节点。
• 节点（Node）：树中的基本单元，包含数据和指向子节点的引用。
• 子节点（Child）：直接连接到某一节点的节点。
• 父节点（Parent）：直接连接到子节点的节点。
• 叶节点（Leaf）：没有子节点的节点。
• 深度（Depth）：节点到根节点的路径长度。
• 高度（Height）：节点到其最远叶节点的路径长度。

2.树的类型

• 二叉树（Binary Tree）：每个节点最多有两个子节点（左子节点和右子节点）。
• 二叉搜索树（Binary Search Tree, BST）：左子树的所有节点值小于根节点值，右子树的所有节点值大于根节点值。
• 平衡树（Balanced Tree）：如 AVL 树和红黑树，保持树的高度平衡，以优化插入、删除和查找操作的时间复杂度。

2.1. 二叉树（Binary Tree）

定义：二叉树是一种每个节点最多有两个子节点的树形结构。每个节点通常包含三个部分：数据、左子节点、右子节点。

特点：

• 结构：每个节点有至多两个子节点，通常称为左子节点和右子节点。
• 类型：包括满二叉树（每个节点都有两个子节点）、完全二叉树（除了最底层外，所有层都是满的）和不完全二叉树（节点可能只有一个子节点）。

完全二叉树和非完全二叉树：

用途：广泛应用于表达结构性的数据，例如表达式树、决策树等。

2.2. 二叉搜索树（Binary Search Tree, BST）

定义：二叉搜索树是一种特殊的二叉树，其中每个节点的左子树包含小于该节点值的节点，右子树包含大于该节点值的节点。（值）

特点：

• 性质：对于每个节点，左子树的所有节点值小于该节点值，右子树的所有节点值大于该节点值。
• 操作：插入、删除和查找操作可以在平均 O(log n) 时间复杂度下完成，前提是树是平衡的。

用途：常用于实现高效的查找、插入和删除操作。

2.3. 平衡树（Balanced Tree）

定义：平衡树是一种自我调整的二叉搜索树，确保树的高度在一个合理范围内，从而优化操作效率。

类型：

• AVL 树：一种严格平衡的二叉搜索树，其中每个节点的左右子树高度差最多为1。插入和删除操作后，可能需要进行旋转来保持平衡。
• 红黑树：一种较宽松的平衡树，其中每个节点都有一个颜色属性（红色或黑色），并且遵循一系列规则来确保树的平衡。红黑树在插入和删除时也进行必要的旋转和重新着色。

特点：

• AVL 树：高度更严格平衡，查询操作通常较快，但插入和删除的旋转次数可能较多。
• 红黑树：维护平衡较为宽松，插入和删除操作的复杂度较低，但查询操作可能稍慢。

用途：用于实现具有自平衡特性的高效数据结构，如Java的 TreeMap 和 TreeSet。

3.二叉树的存储

二叉树的存储结构通常有两种方式：顺序存储和‌链式存储。顺序存储适用于完全二叉树，而链式存储则更为灵活，适用于不完全二叉树。二叉树的遍历方式包括‌前序遍历、‌中序遍历、‌后序遍历和‌层序遍历（广度遍历），这些遍历方式按照不同的顺序访问树的节点。

4.二叉树的遍历

二叉树的遍历是指按某条搜索路径访问树中的每个结点，使得每个结点均被访问一次。

1)先序遍历

若二叉树为空，则返回，否则先访问根节点，再先序遍历左子树，再先序遍历右子树。

void PreOrderVisit(BiTree T) {if (T != NULL) {visit(T);PreOrderVisit(T->lchild);PreOrderVisit(T->rchild);}
}

2)中序遍历

若二叉树为空，则返回，否则先中序遍历左子树，再访问根节点，再中序遍历右子树。

void InOrderVisit(BiTree T) {if (T != NULL) {InOrderVisit(T->lchild);visit(T);InOrderVisit(T->rchild);}
}

3)后序遍历

若二叉树为空，则返回，否则先后序遍历左子树，再后序遍历右子树，再访问根节点。

void PostOrderVisit(BiTree T) {if (T != NULL) {PostOrderVisit(T->lchild);PostOrderVisit(T->rchild);visit(T);}