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多项式曲线拟合（Polynomial Curve Fitting）

标签：监督学习

@ author : duanxxnj@163.com
@ time : 2016-06-19

原文链接

多项式特征生成

在机器学习算法中，基于针对数据的非线性函数的线性模型是非常常见的，这种方法即可以像线性模型一样高效的运算，同时使得模型可以适用于更为广泛的数据上，多项式拟合就是这类算法中最为简单的一个。

关于多项式回归的应用，这里举个非常简单的例子:一般的线性回归，模型既是参数$w$的线性函数，同时也是输入变量$x$的线性函数，对于一个二维的数据而言，模型的数学表达式如下：

$$\tilde{y}(x,w)=w_{0} + w_{1}x_{1}+w_{2}x_{2}$$

如果想要拟合一个抛物面，而不是拟合一个平面的话，那么就需计算输入变量$x$二次项的线性组合，则模型更新为下面这个形式：

$$\tilde{y}(x,w)=w_{0} + w_{1}x_{1}+w_{2}x_{2}+w_{4}x_{1}^2+w_{5}x_{2}^2$$

注意：这里需要说明的是，更新后的模型，虽然是输入变量$x$的二次函数，但是，由于它仍然是参数$w$的一次线性函数，所以它仍然是一个线性模型。为了说明这个问题，可以假设有一个新的变量$z=[x_{1},x_{2},x_{1}x_{2},x_{1}^2,x_{2}^2]$，那么就可以将上面的模型重写为下面的这个形式：

$$\tilde{y}(x,w)=w_{0} + w_{1}z_{1}+w_{2}z_{2}+w_{3}z_{3}+w_{4}z_{4}+w_{5}z_{5}$$

用向量$z$替换向量$x$的过程，相当于一个特征变换或者叫做特征生成的过程，它将输入特征的维度提高，但模型仍然是一个线性模型。下面这个代码片段可以实现特征升维的过程，其特征变换的规则为：从$[x_{1},x_{2}]$变为 $[x_{1},x_{2},x_{1}x_{2},x_{1}^2,x_{2}^2]$。

#!/usr/bin/python
# -*- coding: utf-8 -*-"""
author ： duanxxnj@163.com
time : 2016-06-04_14-00多项式特征生成"""from sklearn.preprocessing import PolynomialFeatures
import numpy as np# 首先生成3x2的原始特征矩阵
# 即样本数为3，特征数为2
X = np.arange(6).reshape(3, 2)print '原始数据：'
print X# 特生变换/特征生成
# 将原始一阶数据升维到二阶数据
# 升维方式是： [x_1, x_2] 变为 [1, x_1, x_2, x_1^2, x_1 x_2, x_2^2]
polyFeat = PolynomialFeatures(degree=2)
X_transformed = polyFeat.fit_transform(X)print '特征变换后的数据：'
print X_transformed

运行结果为：

原始数据：
[[0 1][2 3][4 5]]
特征变换后的数据：
[[  1.   0.   1.   0.   0.   1.][  1.   2.   3.   4.   6.   9.][  1.   4.   5.  16.  20.  25.]]

多项式拟合

在《线性回归》中就提到过多项式拟合，从本质上讲，多项式拟合也是一个线性模型，其数学表达式为：

$$y(x,w)=\sum_{j=0}^M\omega_{j}x^j$$

其中$M$是多项式的最高次数，$x^j$代表的是$x$的$j$次幂，$w_{j}$是$x^j$的系数。
样本的数目为$N$,对于每一个样本$x_{n}$，其对应的输出为$t_{n}$，用平方误差和（sum of the squares of the errors）作为损失函数，那么损失函数可以表示为：

$$E(w)=\frac{1}{2}\sum_{n=1}^N\{y(x_{n},w)-t_{n}\}^2$$

这里在损失函数前面加入一个$\frac{1}{2}$，只是为了后面的推导方便，其并不影响最终的结果。

经过上面的分析可以知道，多项式拟合其实是两个过程：
1. 对原始特征向量$x$做多项式特征生成，得到新的特征$z$
2. 对新的特征$z$做线性回归

#!/usr/bin/python
# -*- coding: utf-8 -*-"""
author ： duanxxnj@163.com
time : 2016-06-04_16-38这个例子展示了多项式曲线拟合的特性多项式曲线拟合分为两个步骤：
1、根据多项式的最高次数，对输入特征向量做特征生成对原来的每一个特征向量而言，可以生成一个范特蒙德矩阵（ Vandermonde matrix）范特蒙德矩阵的尺寸为：[n_samples , n_degree+1]其形式为：[[1, x_1, x_1 ** 2, x_1 ** 3, ...],[1, x_2, x_2 ** 2, x_2 ** 3, ...],...]2、基于第一步生成的范特蒙德矩阵，直接使用已有线性回归模型，就可以实现多项式回归这个例子展示了如何基于线性回归模做非线性回归，其实这个也是核函数的基本思想。
"""
print(__doc__)import numpy as np
import matplotlib.pyplot as pltfrom sklearn.linear_model import LinearRegressionfrom sklearn.preprocessing import PolynomialFeatures
from sklearn.pipeline import make_pipeline# 多项式回归需要拟合的函数
def f(x):return x * np.sin(x)# 产生绘图用的原始数据点
# 这里产生的点的范围比实际拟合所采用的点的范围要宽一些
# 其目的是为了展示当多项式拟合的次数过高时，过拟合的现象
# 过拟合的模型在训练数据范围内，拟合效果非常好
# 在训练数据范围外，模型的拟合效果特别误差
x_plot = np.linspace(-1, 13, 140)# 训练用数据范围
x = np.linspace(0, 10, 100)# 随机取训练数据中的10个点作为拟合用的点
rng = np.random.RandomState(0)
rng.shuffle(x)
x = np.sort(x[:10])
y = f(x)# 将数据从行向量换为列向量，这样每一行就能代表一个样本
X = x[:, np.newaxis]
X_plot = x_plot[:, np.newaxis]# 从次数为1一直到次数变为17，模型的次数增长步长为3
# 下面会绘制出不同的次数所对应的图像
# 需要注意的是，这6个图的坐标系的y轴的数据范围相差是非常大的
# 模型的次数越高，在训练数据外的测试点上，y的数据和原始数据相差越大
# 即：过拟合现象越明显
#
# 同时，下面还输出了不同次数下，模型对应的参数向量w
# 可以看到，模型次数越大，模型所对应的参数向量的模||w||也越大
# 即：过拟合现象越明显，模型所对应的参数向量的模||w||也越大
#
# 在损失函数后面，加上模型所对应的参数向量的模||w||
# 那么，在最小化损失函数的同时，也限制了参数向量的模||w||的增长
# 这就是正则化可以防止过拟合的原因
#
# 但是在实际测试中发现，如果随机取训练数据的时候，选取的是20个点
# 那么参数向量的模||w||并不是随着模型复杂度的增加而增加
# 这个是因为训练的样本足够大的时候，能够有效的描述原始数据分布
# 那么过拟合的这一套理论就不是特别的适用了
# 所以，方法的选择还是要建立在对数据分布充分的认识上才行
#
for degree in range(9):# 基于不同的次数生成多项式模型model = make_pipeline(PolynomialFeatures(degree), LinearRegression())model.fit(X, y)# 不同次数下，多项式模型的参数print '模型次数为：', degree, ' 时，模型的参数向量的模：'print np.dot(np.array(model.steps[1][2].coef_),np.array(model.steps[1][3].coef_))print '模型的参数为：'print model.steps[1][4].coef_y_plot = model.predict(X_plot)plt.subplot('52' + str(degree + 1))plt.grid()plt.plot(x_plot, f(x_plot), label="ground truth")plt.scatter(x, y, label="training points")plt.plot(x_plot, y_plot, label="degree %d" % degree)plt.legend(loc='lower left')plt.show()

过拟合

从上面的代码的运行结果如下：

模型次数为： 0  时，模型的参数向量的模：
0.0
模型的参数为：
[ 0.]
模型次数为： 1  时，模型的参数向量的模：
0.0672247305597
模型的参数为：
[ 0.          0.25927732]
模型次数为： 2  时，模型的参数向量的模：
0.00485169982253
模型的参数为：
[ 0.          0.06702261  0.01896495]
模型次数为： 3  时，模型的参数向量的模：
21.6855657558
模型的参数为：
[ 0.         -4.50881058  1.16216004 -0.07467912]
模型次数为： 4  时，模型的参数向量的模：
193.44229814
模型的参数为：
[  0.          11.8668248   -7.13912616   1.28405087  -0.06970187]
模型次数为： 5  时，模型的参数向量的模：
100.775416362
模型的参数为：
[  0.00000000e+00   8.81727284e+00  -4.75722615e+00   6.32370347e-013.81031381e-03  -2.92969155e-03]
模型次数为： 6  时，模型的参数向量的模：
412.685941253
模型的参数为：
[  0.00000000e+00  -1.12195467e+01   1.52609522e+01  -7.19720894e+001.44728030e+00  -1.28827774e-01   4.18692299e-03]
模型次数为： 7  时，模型的参数向量的模：
584.784763013
模型的参数为：
[  0.00000000e+00  -1.33786428e+01   1.80697292e+01  -8.70772778e+001.85005336e+00  -1.85152116e-01   8.14689351e-03  -1.10477347e-04]
模型次数为： 8  时，模型的参数向量的模：
325.113163284
模型的参数为：
[  0.00000000e+00   8.34477828e+00  -1.22270425e+01   9.49806252e+00-3.88031716e+00   8.35492773e-01  -9.56033297e-02   5.50928798e-03-1.25987578e-04]

可以明显的看出来，模型的次数越高，参数向量的模就越大，那么其拟合程度就越高，越容易产生过拟合。

注意： 在实际测试中发现，如果随机取训练数据的时候，选取的是20个点那么参数向量的模||w||并不是随着模型复杂度的增加而增加。这个是因为训练的样本足够大，能够有效的描述原始数据分布的时候，那么过拟合的这一套理论就不是特别的适用了。所以，方法的选择还是要建立在对数据分布充分的认识上才行

模型的概率解释

关于线性模型可以通过其概率意义进行解释，我个人也是最信服这种解释方式。即：真实值$t_{n}$，是输入$x_{n}$在模型$y(x,w)$上加入了一个噪声产生的，其数学表达式如下:

$$t_{n}=y(x_{n},w)+\epsilon$$

而我们一般可以定义噪声$\epsilon$为高斯分布$N(0,\sigma^2)$，那么可以很容易得到，$t$是以$y(x,w)$为均值的高斯分布：

$$p(t|x,w,\sigma^2)=N(t|y(x,w),\sigma^2)$$

那么对于训练数据$\{X,t\}$而言，可以使用极大似然估计来计算参数$w$和$\sigma^2$：

$$p(t|X,w,\sigma^2)=\prod_{n=1}^NN(t_{n}|y(x_{n},w),\sigma^2)$$

取对数似然估计：

$$lnp(t|X,w,\sigma^2)=-\frac{1}{2\sigma^2}\sum_{n=1}^N\{y(x_{n},w)-t_{n}\}^2-\frac{N}{2}ln2\pi-Nln\sigma$$

首先估计参数$w$，那么就可以略去和$w$无关的所有项。最后就是剩下下面这个式子：

$$\sum_{n=1}^N\{y(x_{n},w)-t_{n}\}^2$$

这个就是一开始使用的平方误差和（sum of the squares of the errors），这也解释为什么用平方误差和作为损失函数了，$w$的解在线性回归那一节中已经有说明。

在估计出$w_{ML}$后，再来估计参数$\sigma^2$，这里取$\beta^{-1}=\sigma^2$，则对数似然估计就变成了：

$$lnp(t|X,w,\beta)=-\frac{\beta}{2}\sum_{n=1}^N\{y(x_{n},w)-t_{n}\}^2-\frac{N}{2}ln2\pi-\frac{N}{2}ln\beta$$

对其关于$\beta$求导，就可以得到：

$$-\frac{1}{2}\sum_{n=1}^N\{y(x_{n},w)-t_{n}\}^2 - \frac{N}{2}\beta=0$$

所以可以得到：

$$\sigma_{ML}^2=\frac{1}{\beta_{ML}}=\frac{1}{N}\sum_{n=1}^N\{y(x_{n},w_{ML})-t_{n}\}^2\}$$

现在参数$w_{ML}$和$\sigma_{ML}^2$都已经估计出来了，那么我么就有了$t$关于$x$的概率分布模型：

$$p(t|x,w_{ML},\sigma_{ML}^2)=N(t|y(x,w_{ML}),\sigma_{ML}^2)$$

有了这个模型，对于输入$x$就可以很容易的得到对于的$t$，及其概率。

正则项的贝叶斯先验解释

在已经得到刚才的概率模型的前提下，这里进一步引入贝叶斯规则，可以假设，参数$w$拥有高斯先验分布：

$$p(w|\alpha)=N(w|0,\alpha^{-1}I)=(\frac{\alpha}{2\pi})^{(M+1)/2}exp\{-\frac{\alpha}{2}w^Tw\}$$

这里$M+1$是模型的复杂度，即多项式回归的次数。那么，根据贝叶斯规则：

$$p(w|X,t,\alpha,\beta)=p(t|X,w,\beta)p(w,\alpha)$$

这个叫做MAP极大后验概率(maximum posterior）。对这个式子做对数似然，去除无关项之后，可以很容易得到下面这个结果：

$$-\frac{\beta}{2}\sum_{n=1}^N\{y(x_{n},w)-t_{n}\}^2+\frac{\alpha}{2}w^Tw$$

这里可以看出，先验概率对应的就是正则项，其正则参数为$\lambda=\alpha/\beta$。

可以假设，复杂的模型有较小的先验概率，而相对简单的模型有较大的先验概率。