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设 ε 1 , ε 2 , ε 3 \varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3 ε1,ε2,ε3 是复数域上线性空间 V V V 的一组基，线性变换 σ \sigma σ 在 ε 1 , ε 2 , ε 3 \varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3 ε1,ε2,ε3 下的矩阵为
J = ( 2 0 0 1 2 0 0 0 − 1 ) . J = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}. J= 21002000−1 .
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写出 J J J 的初等因子组和不变因子组；
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已知 ξ = c 1 ε 1 + c 2 ε 2 \xi = c_1 \varepsilon_1 + c_2 \varepsilon_2 ξ=c1ε1+c2ε2，求 σ ( ξ ) \sigma(\xi) σ(ξ) 在 ε 1 , ε 2 , ε 3 \varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3 ε1,ε2,ε3 下的坐标；
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证明 L ( ε 1 , ε 2 ) L(\varepsilon_1, \varepsilon_2) L(ε1,ε2) 是 σ \sigma σ 的不变子空间，且 V = L ( ε 1 , ε 2 ) ⊕ L ( ε 3 ) V = L(\varepsilon_1, \varepsilon_2) \oplus L(\varepsilon_3) V=L(ε1,ε2)⊕L(ε3)。
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解答 1
J J J 为若尔当形矩阵
J J J 的初等因子为( λ − 2 ) 2 \lambda-2)^2 λ−2)2 ， λ + 1 \lambda+1 λ+1 。不变因子为 d 1 = 1 d_1=1 d1=1， d 2 = 1 d_2=1 d2=1， d 3 = ( λ − 2 ) 2 ( λ + 1 ) d_3=(\lambda-2)^2(\lambda+1) d3=(λ−2)2(λ+1)
解答 2
ξ = [ ε 1 ε 2 ε 3 ] [ c 1 c 2 0 ] \xi = \begin{bmatrix} \varepsilon_1 & \varepsilon_2 & \varepsilon_3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c_1 \\ c_2 \\ 0 \end{bmatrix} ξ=[ε1ε2ε3] c1c20
σ ( ξ ) = [ ε 1 ε 2 ε 3 ] [ 2 0 0 1 2 0 0 0 − 1 ] [ c 1 c 2 0 ] = [ ε 1 ε 2 ε 3 ] [ 2 c 1 c 1 + 2 c 2 0 ] . \begin{align} \sigma \left( \xi \right) &= \begin{bmatrix} \varepsilon_1 & \varepsilon_2 & \varepsilon_3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c_1 \\ c_2 \\ 0 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} \varepsilon_1 & \varepsilon_2 & \varepsilon_3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2c_1 \\ c_1 + 2c_2 \\ 0 \end{bmatrix}. \end{align} σ(ξ)=[ε1ε2ε3] 21002000−1 c1c20 =[ε1ε2ε3] 2c1c1+2c20 .
σ ( ξ ) \sigma(\xi) σ(ξ) 在 ε 1 , ε 2 , ε 3 \varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3 ε1,ε2,ε3 下的坐标为 [ 2 c 1 , c 1 + 2 c 2 , 0 ] T [2c_1,c_1+2c_2,0]^T [2c1,c1+2c2,0]T
解答 3
∀ α ∈ L ( ε 1 , ε 2 ) \forall\alpha\in L(\varepsilon_1, \varepsilon_2) ∀α∈L(ε1,ε2)，即 α = k 1 ε 1 + k 2 ε 2 \alpha=k_1\varepsilon_1+k_2 \varepsilon_2 α=k1ε1+k2ε2，
σ ( α ) = σ ( k 1 ε 1 + k 2 ε 2 ) = 2 k 1 ε 1 + ( k 1 + 2 k 2 ) ε 2 \begin{align} \sigma \left( \alpha \right) &= \sigma \left( k_1\varepsilon_1 + k_2\varepsilon_2 \right) \\ &= 2k_1\varepsilon_1 + \left( k_1 + 2k_2 \right)\varepsilon_2 \end{align} σ(α)=σ(k1ε1+k2ε2)=2k1ε1+(k1+2k2)ε2
故 σ ( α ) ∈ L ( ε 1 , ε 2 ) \sigma \left( \alpha \right)\in L(\varepsilon_1, \varepsilon_2) σ(α)∈L(ε1,ε2)，即 L ( ε 1 , ε 2 ) L(\varepsilon_1, \varepsilon_2) L(ε1,ε2) 是 σ \sigma σ 的不变子空间
ε 1 , ε 2 , ε 3 \varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3 ε1,ε2,ε3 是 V V V 的一组基，则有 V = L ( ε 1 , ε 2 ) + L ( ε 3 ) V = L(\varepsilon_1, \varepsilon_2) + L(\varepsilon_3) V=L(ε1,