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一、强化学习的基本概念

注： 圈图与折线图引用知乎博主斜杠青年

1. 任务与奖赏

• 任务：强化学习的目标是让智能体（agent）在一个环境（environment）中采取一系列行动（actions）以完成一个或多个目标。智能体通过与环境进行交互，根据环境的状态（states）选择动作，并根据环境的反馈调整自己的行为。
• 奖赏：环境会给智能体一个反馈信号，即奖赏（reward），奖赏是一个标量值，代表智能体采取行动后的即时奖励或惩罚。智能体的目标是最大化累积奖赏，通常使用折扣累积奖赏公式：
  
  ，其中
  是在时刻
  获得的奖赏，(\gamma\in[0,1]) 是折扣因子，用于平衡短期和长期奖赏，越接近 0 表示越关注短期奖赏，越接近 1 表示越关注长期奖赏。

二、k-摇臂赌博机

1. 基本概念

• k-摇臂赌博机是强化学习中的一个经典问题，它有 (k) 个摇臂，每个摇臂被拉动时会给出一个随机的奖赏。智能体的任务是通过多次试验找到能带来最大累积奖赏的摇臂。
  

2. 代码示例（(\epsilon)-贪心算法）

import numpy as npdef k_arm_bandit(k, num_steps, epsilon):# 初始化每个摇臂的真实奖赏期望，这里假设服从正态分布true_rewards = np.random.normal(0, 1, k)estimated_rewards = np.zeros(k)num_pulls = np.zeros(k)rewards = []for step in range(num_steps):if np.random.rand() < epsilon:# 以 epsilon 的概率随机选择一个摇臂action = np.random.randint(k)else:# 以 1 - epsilon 的概率选择估计奖赏最大的摇臂action = np.argmax(estimated_rewards)# 从选中的摇臂获得一个随机奖赏，假设服从正态分布reward = np.random.normal(true_rewards[action], 1)rewards.append(reward)# 更新估计奖赏和拉动次数num_pulls[action] += 1estimated_rewards[action] += (reward - estimated_rewards[action]) / num_pulls[action]return rewards# 示例运行
k = 10
num_steps = 1000
epsilon = 0.1
rewards = k_arm_bandit(k, num_steps, epsilon)
print("Total rewards:", np.sum(rewards))

三、有模型学习

1. 基本概念

• 有模型学习中，智能体尝试学习环境的模型，即状态转移概率 (P(s’|s,a))（从状态 (s) 采取动作 (a) 转移到状态 (s’) 的概率）和奖赏函数 (R(s,a))（在状态 (s) 采取动作 (a) 获得的奖赏）。然后可以使用规划算法（如动态规划）来求解最优策略。

2. 数学公式（Bellman 方程）

• 状态值函数 (V(s)) 的 Bellman 期望方程：

• 

• 动作值函数 (Q(s,a)) 的 Bellman 期望方程：
  ，其中 (\pi(a|s)) 是策略，表示在状态 (s) 下采取动作 (a) 的概率。

3. 代码示例（价值迭代）

import numpy as npdef value_iteration(P, R, gamma, theta):num_states = P.shape[0]num_actions = P.shape[1]V = np.zeros(num_states)while True:delta = 0for s in range(num_states):v = V[s]V[s] = max([sum([P[s][a][s_prime] * (R[s][a] + gamma * V[s_prime])for s_prime in range(num_states)]) for a in range(num_actions)])delta = max(delta, abs(v - V[s]))if delta < theta:breakreturn V# 示例运行
# 假设环境的状态转移矩阵 P 和奖赏矩阵 R
P = np.random.rand(3, 2, 3)  # P[s][a][s_prime]
R = np.random.rand(3, 2)  # R[s][a]
gamma = 0.9
theta = 0.001
V = value_iteration(P, R, gamma, theta)
print("Optimal state values:", V)

四、免模型学习

1. 基本概念

• 免模型学习不尝试学习环境的完整模型，而是直接学习价值函数或策略函数。常见的方法包括蒙特卡洛（Monte Carlo）、时序差分（Temporal Difference，TD）学习等。

2. 数学公式（TD(0) 更新）

，其中 (S_t) 和 (S_{t+1}) 是连续的状态，(R_{t+1}) 是从 (S_t) 到 (S_{t+1}) 获得的奖赏，(\alpha) 是学习率。

3. 代码示例（TD(0)）

import numpy as npdef td_0(env, num_episodes, alpha, gamma):V = np.zeros(env.num_states)for _ in range(num_episodes):state = env.reset()done = Falsewhile not done:action = np.random.randint(env.num_actions)  # 这里使用随机策略next_state, reward, done = env.step(action)V[state] += alpha * (reward + gamma * V[next_state] - V[state])state = next_statereturn Vclass SimpleEnvironment:def __init__(self):self.num_states = 5self.num_actions = 2def reset(self):return 0def step(self, action):# 简单模拟环境的状态转移和奖赏，实际应用中需要根据具体环境定义if action == 0:next_state = np.random.choice(self.num_states)reward = np.random.normal(0, 1)else:next_state = np.random.choice(self.num_states)reward = np.random.normal(1, 1)done = False  # 假设不会结束return next_state, reward, done# 示例运行
env = SimpleEnvironment()
num_episodes = 1000
alpha = 0.1
gamma = 0.9
V = td_0(env, num_episodes, alpha, gamma)
print("Estimated state values:", V)

五、值函数近似

1. 基本概念

• 当状态空间很大或连续时，使用表格存储值函数变得不可行，因此使用值函数近似。通常使用函数逼近器（如线性函数、神经网络）来表示 (V(s)) 或 (Q(s,a))。

2. 数学公式（线性值函数近似）

• (V(s;\theta)=\theta^T\phi(s))，其中 (\theta) 是参数向量，(\phi(s)) 是状态 (s) 的特征向量。

3. 代码示例（线性函数近似）

import numpy as npdef linear_value_approximation(env, num_episodes, alpha, gamma, theta):for _ in range(num_episodes):state = env.reset()done = Falsewhile not done:action = np.random.randint(env.num_actions)  # 随机策略next_state, reward, done = env.step(action)# 特征向量表示phi_state = np.array([state, state**2])phi_next_state = np.array([next_state, next_state**2])target = reward + gamma * np.dot(theta, phi_next_state)delta = target - np.dot(theta, phi_state)theta += alpha * delta * phi_statestate = next_statereturn thetaclass SimpleEnvironment:def __init__(self):self.num_states = 5self.num_actions = 2def reset(self):return 0def step(self, action):# 简单模拟环境的状态转移和奖赏if action == 0:next_state = np.random.choice(self.num_states)reward = np.random.normal(0, 1)else:next_state = np.random.choice(self.num_states)reward = np.random.normal(1, 1)done = False  # 假设不会结束return next_state, reward, done# 示例运行
env = SimpleEnvironment()
num_episodes = 1000
alpha = 0.1
gamma = 0.9
theta = np.random.rand(2)
theta = linear_value_approximation(env, num_episodes, alpha, gamma, theta)
print("Estimated theta:", theta)

六、模仿学习

1. 基本概念

• 模仿学习旨在让智能体通过模仿专家的行为来学习策略，通常用于解决难以通过奖赏函数定义的任务。包括行为克隆（Behavior Cloning）、逆强化学习（Inverse Reinforcement Learning）等方法。

2. 代码示例（行为克隆）

import numpy as np
from sklearn.linear_model import LogisticRegressiondef behavior_cloning(expert_states, expert_actions):# 假设专家状态和动作是已知的model = LogisticRegression()model.fit(expert_states, expert_actions)return model# 示例运行
expert_states = np.random.rand(100, 2)  # 假设专家状态是二维的
expert_actions = np.random.randint(0, 2, 100)  # 专家动作是 0 或 1
model = behavior_cloning(expert_states, expert_actions)
print("Trained model:", model)

代码解释

k-摇臂赌博机代码解释：

• k_arm_bandit 函数：
  • true_rewards：每个摇臂的真实期望奖赏。
  • estimated_rewards：对每个摇臂奖赏的估计。
  • num_pulls：每个摇臂被拉动的次数。
  • 使用 (\epsilon)-贪心算法，以概率 (\epsilon) 随机选择摇臂，以概率 (1 - \epsilon) 选择估计奖赏最高的摇臂。

有模型学习代码解释：

• value_iteration 函数：
  • P：状态转移矩阵。
  • R：奖赏矩阵。
  • 通过迭代更新状态值函数 (V(s))，直到收敛（(\Delta < \theta)）。

免模型学习代码解释：

• td_0 函数：
  • V：状态值函数。
  • 通过 TD(0) 更新规则 (V(S_t)\leftarrow V(S_t)+\alpha(R_{t+1}+\gamma V(S_{t+1})-V(S_t))) 来更新值函数。

值函数近似代码解释：

• linear_value_approximation 函数：
  • 使用线性函数 (V(s;\theta)=\theta^T\phi(s)) 来近似值函数。
  • 通过更新参数 (\theta) 来学习。

模仿学习代码解释：

• behavior_cloning 函数：
  • 使用逻辑回归模型来学习专家的状态 - 动作映射。

算法比对

请注意，上述代码仅为简单示例，在实际应用中可能需要更复杂的环境和算法调整。同时，对于使用的库，如 numpy 和 sklearn，你可以使用 pip 安装：

pip install numpy sklearn