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题目

303、区域和检索（数组不可变）

给定一个整数数组 nums，处理以下类型的多个查询:

1. 计算索引 left 和 right （包含 left 和 right）之间的 nums 元素的 和 ，其中 left <= right

实现 NumArray 类：

• NumArray(int[] nums) 使用数组 nums 初始化对象
• int sumRange(int i, int j) 返回数组 nums 中索引 left 和 right 之间的元素的 总和 ，包含 left 和 right 两点（也就是 nums[left] + nums[left + 1] + ... + nums[right] )

示例 1：

输入：
["NumArray", "sumRange", "sumRange", "sumRange"]
[[[-2, 0, 3, -5, 2, -1]], [0, 2], [2, 5], [0, 5]]
输出：
[null, 1, -1, -3]解释：
NumArray numArray = new NumArray([-2, 0, 3, -5, 2, -1]);
numArray.sumRange(0, 2); // return 1 ((-2) + 0 + 3)
numArray.sumRange(2, 5); // return -1 (3 + (-5) + 2 + (-1)) 
numArray.sumRange(0, 5); // return -3 ((-2) + 0 + 3 + (-5) + 2 + (-1))

304、二维区域和检索（矩阵不可变）

给定一个二维矩阵 matrix，以下类型的多个请求：

• 计算其子矩形范围内元素的总和，该子矩阵的 左上角 为 (row1, col1) ，右下角 为 (row2, col2) 。

实现 NumMatrix 类：

• NumMatrix(int[][] matrix) 给定整数矩阵 matrix 进行初始化
• int sumRegion(int row1, int col1, int row2, int col2) 返回 左上角 (row1, col1) 、右下角 (row2, col2) 所描述的子矩阵的元素 总和 。

示例 1：

输入: 
["NumMatrix","sumRegion","sumRegion","sumRegion"]
[[[[3,0,1,4,2],[5,6,3,2,1],[1,2,0,1,5],[4,1,0,1,7],[1,0,3,0,5]]],[2,1,4,3],[1,1,2,2],[1,2,2,4]]
输出: 
[null, 8, 11, 12]解释:
NumMatrix numMatrix = new NumMatrix([[3,0,1,4,2],[5,6,3,2,1],[1,2,0,1,5],[4,1,0,1,7],[1,0,3,0,5]]);
numMatrix.sumRegion(2, 1, 4, 3); // return 8 (红色矩形框的元素总和)
numMatrix.sumRegion(1, 1, 2, 2); // return 11 (绿色矩形框的元素总和)
numMatrix.sumRegion(1, 2, 2, 4); // return 12 (蓝色矩形框的元素总和)

解

①303，一维前缀和

class Solution {public int[] productExceptSelf(int[] nums) {int len=nums.length;int[] answer=new int[len];answer[0]=1;for(int i=1;i<len;i++){answer[i]=nums[i-1]*answer[i-1];}int R=nums[len-1]; // R存储右侧所有元素乘积for (int i = len - 2; i >= 0; i--) {answer[i] = answer[i] * R;R=R*nums[i];}return answer;}
}

②304，二维前缀和

class NumMatrix {int[][] sum;public NumMatrix(int[][] matrix) {int m=matrix.length,n=matrix[0].length;sum=new int[m+1][n+1];for(int i=1;i<=m;i++){for(int j=1;j<=n;j++){sum[i][j]=sum[i-1][j]+sum[i][j-1]-sum[i-1][j-1]+matrix[i-1][j-1];}}}public int sumRegion(int row1, int col1, int row2, int col2) {return sum[row2+1][col2+1]-sum[row1][col2+1]-sum[row2+1][col1]+sum[row1][col1];}
}

算法

前缀和

前缀和是一种常见的算法技巧，用于快速计算数组中某个区间内元素的和，通常用于优化处理大量的区间求和问题，比如给定一个数组，询问其中某个连续区间内元素的和。

算法原理： 前缀和的核心思想是通过对数组进行预处理，计算出从数组开头到每个位置的元素累加和，然后利用这些预先计算好的累加和，在O(1)时间内求出任意区间的和。假设给定数组为A，其前缀和数组为prefix，其中prefix[i]表示数组A从0到i的元素和。

一维前缀和

假设给定数组为A = [1, 2, 3, 4, 5]，其前缀和数组为prefix = [1, 3, 6, 10, 15]。

但在①②中，A数组的前缀和应当为prefix = [0,1, 3, 6, 10, 15]，比原数组要多一个。

在计算任意区间的和时，通过在前缀和数组中添加0，可以统一处理起始位置为0的边界情况，无需单独考虑。例如，对于查询区间[0, 3]，直接使用prefix[3]即可得到结果，无需特殊处理。

具体使用的时候建议用草稿纸绘制相关的数组或者矩阵的图形，进行检验。

二维前缀和

二维的前缀和更为复杂，

A = [ [1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9] ]

prefix = [ [1, 3, 6], [5, 12, 21], [12, 27, 45] ]

prefix[i] [j] = A[i] [j] + prefix[i-1] [j] + prefix[i] [j-1] - prefix[i-1] [j-1]

可以用下图帮助理解（图源LeetCode：负雪明烛）：

至于输出的公式，也类似于上面的用右下角位置加上左上角-1的位置减去区域右上角和左下角：

area=sum[row2+1] [col2+1]-sum[row1] [col2+1]-sum[row2+1] [col1]+sum[row1] [col1]（为了方便书写代码，实际矩阵比原矩阵大一圈，所以这里所有的加减都在原矩阵基础上+1）