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支持向量机 （support vector machine，SVM）

flyfish

支持向量机是一种用于分类和回归的机器学习模型。在分类任务中，SVM试图找到一个最佳的分隔超平面，使得不同类别的数据点在空间中被尽可能宽的间隔分开。

超平面方程和直线方程

超平面（hyperplane）是一个在高维空间中将空间分成两个部分的几何对象。它的方程可以在不同维度的空间中有不同的形式。

一维空间中的“超平面”

在一维空间中，超平面就是一个点。假设我们在一维空间中有一个超平面，它可以表示为：
$$x=a$$
其中，$a$ 是某个常数。这表示一维空间中的一个特定点，将空间分成两个部分： $x<a$ 和 $x>a$。

二维空间中的超平面（直线）

在二维空间中，超平面就是一条直线。直线的方程可以表示为：
$$y=kx+b$$
其中，$k$ 是斜率，$b$ 是截距。或者，可以表示为标准形式：
$$ax+by+c=0$$
其中，$a$、$b$、$c$ 是常数。
这条直线将二维空间分成两个半平面。

三维空间中的超平面（平面）

在三维空间中，超平面是一个平面。平面的方程可以表示为：
$$ax+by+cz+d=0$$
其中，$a$、$b$、$c$ 和 $d$ 是常数。
这个平面将三维空间分成两个半空间。

一般形式的超平面方程

在更高维度的空间中，超平面的方程一般可以表示为：
$\mathbf{w}\cdot \mathbf{x}+b=0$
其中：

• $\mathbf{w}=(w_1,w_2,\dots ,w_n)$ 是一个权重向量，定义了超平面的方向。

• $\mathbf{x}=(x_1,x_2,\dots ,x_n)$ 是一个点的坐标向量。

• $b$ 是偏置。
  这个超平面将 $n$ 维空间分成两个半空间。

直线方程是超平面方程在二维空间中的一种特例。一般来说，超平面是 $n$ 维空间中的一个 $(n-1)$ 维的对象：

• 在一维空间中，超平面是一个点。

• 在二维空间中，超平面是一个直线。

• 在三维空间中，超平面是一个平面。

• 在四维及更高维空间中，超平面是一个 $(n-1)$ 维的对象。

示例和理解

一维空间中的超平面

$$x=2$$
这是在一维空间中的一个点，将空间分为 $x<2$ 和 $x>2$ 两部分。

二维空间中的超平面

标准形式：
$$2x+3y-6=0$$
或者：
$$y=-\frac{2}{3}x+2$$
这是在二维空间中的一条直线。

三维空间中的超平面

$$2x+3y+4z-5=0$$
这是在三维空间中的一个平面。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn import svm# 生成一些数据
np.random.seed(0)
X = np.r_[np.random.randn(20, 2) - [2, 2], np.random.randn(20, 2) + [2, 2]]
Y = [0] * 20 + [1] * 20# 拟合模型
clf = svm.SVC(kernel='linear')
clf.fit(X, Y)# 绘制数据点和分类超平面
plt.scatter(X[:, 0], X[:, 1], c=Y, cmap=plt.cm.Paired)
ax = plt.gca()
xlim = ax.get_xlim()
ylim = ax.get_ylim()# 创建网格以评估模型
xx = np.linspace(xlim[0], xlim[1], 30)
yy = np.linspace(ylim[0], ylim[1], 30)
YY, XX = np.meshgrid(yy, xx)
xy = np.vstack([XX.ravel(), YY.ravel()]).T
Z = clf.decision_function(xy).reshape(XX.shape)# 绘制分类超平面
ax.contour(XX, YY, Z, colors='k', levels=[-1, 0, 1], alpha=0.5, linestyles=['--', '-', '--'])
ax.scatter(clf.support_vectors_[:, 0], clf.support_vectors_[:, 1], s=100, linewidth=1, facecolors='none', edgecolors='k')
plt.show()

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn import svm
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D# 生成三维数据
np.random.seed(0)
X = np.r_[np.random.randn(20, 3) - [2, 2, 2], np.random.randn(20, 3) + [2, 2, 2]]
Y = [0] * 20 + [1] * 20# 拟合模型
clf = svm.SVC(kernel='linear')
clf.fit(X, Y)# 创建一个网格来绘制分类平面
xx, yy = np.meshgrid(np.linspace(-5, 5, 50), np.linspace(-5, 5, 50))
zz = (-clf.intercept_[0] - clf.coef_[0][0] * xx - clf.coef_[0][1] * yy) / clf.coef_[0][2]# 绘制数据点和分类平面
fig = plt.figure()
ax = fig.add_subplot(111, projection='3d')ax.scatter(X[:20, 0], X[:20, 1], X[:20, 2], color='b', marker='o', label='Class 0')
ax.scatter(X[20:, 0], X[20:, 1], X[20:, 2], color='r', marker='^', label='Class 1')ax.plot_surface(xx, yy, zz, color='g', alpha=0.5, rstride=100, cstride=100)ax.set_xlabel('X1')
ax.set_ylabel('X2')
ax.set_zlabel('X3')plt.legend()
plt.show()

最大间隔解释

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn import datasets
from sklearn.svm import SVC
plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']
plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False
# 生成一个简单的二维分类数据集
X, y = datasets.make_blobs(n_samples=50, centers=2, random_state=6)# 训练一个线性支持向量机
clf = SVC(kernel='linear', C=1000)
clf.fit(X, y)# 获取分隔超平面
w = clf.coef_[0]
b = clf.intercept_[0]# 计算分隔超平面的两个端点
x = np.linspace(-10, 10, 100)
y_hyperplane = -w[0]/w[1] * x - b/w[1]# 计算间隔边界
margin = 1 / np.sqrt(np.sum(w ** 2))
y_margin_up = y_hyperplane + margin
y_margin_down = y_hyperplane - margin# 绘制数据点、分隔超平面及其间隔边界
plt.scatter(X[:, 0], X[:, 1], c=y, cmap='coolwarm')
plt.plot(x, y_hyperplane, 'k-', label='分隔超平面')
plt.plot(x, y_margin_up, 'k--', label='上间隔边界')
plt.plot(x, y_margin_down, 'k--', label='下间隔边界')# 绘制支持向量
plt.scatter(clf.support_vectors_[:, 0], clf.support_vectors_[:, 1], s=100, facecolors='none', edgecolors='k', label='支持向量')plt.legend()
plt.xlabel('Feature 1')
plt.ylabel('Feature 2')
plt.title('最大化间隔的 SVM')
plt.show()

拉格朗日乘子法