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一、数列极限的定义及使用
lim n → ∞ x n = A ⇔ ∀ ε > 0 , ∃ N > 0 , 当 n > N 时 , 有 ∣ x n − A ∣ < ε . \lim_{n\to\infty}x_n=A\Leftrightarrow \forall \varepsilon >0, \exists N>0, 当n>N时, 有|x_n-A|<\varepsilon. n→∞limxn=A⇔∀ε>0,∃N>0,当n>N时,有∣xn−A∣<ε.
在极限存在的条件下：
- 极限是常数；
- 极限具有唯一性；
- 有界性；
- 保号性；
- 收敛的充要条件：所有子列 { x n k } \left \{ x_{n_k} \right \} {xnk} 均收敛于 A 。
二、数列极限的存在性与计算
1. 归结原则
若 lim x → x 0 f ( x ) = A \lim_{x\to x_0}f(x)=A limx→x0f(x)=A，则当 { x n } \left\{x_n\right\} {xn} 以 x 0 x_0 x0 为极限时，有 lim n → ∞ f ( x n ) = A \lim_{n\to\infty}f(x_n)=A limn→∞f(xn)=A.
- 当 x → 0 x\to0 x→0 时，取 x n = 1 n x_n=\frac{1}{n} xn=n1，即若 lim x → 0 f ( x ) = A \lim_{x\to0}f(x)=A limx→0f(x)=A，则 lim n → ∞ f ( 1 n ) = A \lim_{n\to\infty}f(\frac{1}{n})=A limn→∞f(n1)=A.
- 当 x n → a x_n\to a xn→a 时，若 lim x → a f ( x ) = A \lim_{x\to a}f(x)=A limx→af(x)=A，则 lim n → ∞ f ( x n ) = A \lim_{n\to\infty}f(x_n)=A limn→∞f(xn)=A.
2. 直接计算
3. 定义法（先斩后奏）
简单来讲就是先用定义法则“猜”出极限是什么，然后假设该数列极限 A 等于这个结果，最后将后一项极限值与 A 做差，运算证明得到的极限结果为 0 。
4. 单调有界准则
简单来讲就是证明该数列满足单调递增（递减），且具有上界（下界）。
5. 夹逼准则
通过计算放缩后的数列极限相等来得到该数列极限。