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例1：证明，交换群的任何子群都是不变子群。

证：设(G,o)是交换群，H≤G，

对任意的a∈G，显然都有aH = {a o h|h∈H} = {h o a|h∈H} = Ha。

所以H⊿G。

【注：规范的不变子群符号是一个顶角指向左边的等腰三角形】

 

推论：

①循环群的子群都是不变子群；

②素数阶群的任何子群都是不变子群。

 

例2：证明，平凡子群是不变子群。

证：设(G,o)是一个群，则{e}和G本身是G的平凡子群。

①对∀a∈G，

显然a{e} = {a o e} = {a} = {e o a} = {e}a，

所以{e}是G的不变子群。

②下面证对∀a∈G，有aG = G = Ga：

对∀x∈G，有x = (a o a^(-1)) o x = a o (a^(-1) o x)∈aG，

即x∈aG，从而退出G⊆aG，又由aG的定义可知aG⊆G，所以G = aG，

同理可得Ga = G，

所以G⊿G。

 

例3：证明，设(G,o)是一个群，若N = {n∈G|n o a = a o n，a∈G}，则N⊿G。

【这个不变子群称为G的中心，记作：C(G)。】

证：①对∀a∈G，有e o a = a = a o e，

所以e∈N，即N≠∅；

②∀n₁,n₂∈N，对∀a∈G，

有n₁ o a = a o n₁，n₂ o a = a o n₂，

所以(n₁ o n₂) o a = n₁ o (n₂ o a) = n₁ o (a o n₂) = (n₁ o a) o n₂ = (a o n₁) o n₂ = a o (n₁ o n₂)，

所以n₁,n₂∈N；

③n₁^(-1) o a = (n₁^(-1) o a) o (n₁ o n₁^(-1)) = n₁^(-1) o (a o n₁) o n₁^(-1) = n₁^(-1) o (n₁ o a) o n₁^(-1) = (n₁^(-1) o n₁) o (a o n₁^(-1)) = a o n₁^(-1)，

根据子群的第一判定定理，可得N≤G；

④由N的定义，易得aN = {a o n|n∈N} = {n o a|n∈N} = Na，

所以N⊿G。

 

例4：证明：

（1）K₄⊿A₄；

（2）N = {(1),(123),(132)}⊿S₃；

（3）H = {(1),(12)}不是S₃的不变子群。

证：（1）①因为K₄ = {(1),(12)(34),(13)(24),(14)(23)}，

对∀a∈K₄，均有aK₄ = K₄a = K₄；

②因为(123)K₄ = K₄(123) = {(123),(134),(243),(142)}，所以对∀a∈(123)K₄，有aK₄ = K₄a = (123)K₄；

③同②，因为(132)K₄ = K₄(132) = {(132),(143),(234),(124)}，所以对∀a∈(132)K₄，有aK₄ = K₄a = (132)K₄，

同理可推出对∀a∈A₄，都有aK₄ = K₄a，

所以K₄⊿A₄。

（2）已知N是S₃的子群，运用（1）中同样的枚举法，易得对∀a∈S₃，有aN = Na，从而N⊿S₃。

（3）H = {(1),(12)}≤S₃，但对于(123)∈S₃，(123)H = {(123),(13)}，而H(123) = {(123),(23)}，即(123)H ≠ H(123)，所以不满足不变子群的条件，

∴H不是S₃的不变子群。

[注：aN = Na并不是说a和N中的每一个元都适合交换律，而仅仅是作为集合它们是相等的。]

 

（待续……）