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前言
一、题目描述
二、题解
2.1 前缀和的解题模板
2.1.1 最长递增子序列长度
2.1.2 寻找数组中第 k 大的元素
2.1.3 最长公共子序列长度
2.1.4 寻找数组中第 k 小的元素
2.2 方法一：前缀和
三、代码
3.2 方法一：前缀和
四、复杂度分析
4.2 方法一：前缀和
前言
这是力扣的 724 题，难度为简单，解题方案有很多种，本文讲解我认为最奇妙的一种。
这是一道非常经典的前缀和问题，虽然看似简单，但它却能让你深入理解前缀和的特点。
一、题目描述
给你一个整数数组 nums ，请计算数组的 中心下标 。
数组 中心下标 是数组的一个下标，其左侧所有元素相加的和等于右侧所有元素相加的和。
如果中心下标位于数组最左端，那么左侧数之和视为 0 ，因为在下标的左侧不存在元素。这一点对于中心下标位于数组最右端同样适用。
如果数组有多个中心下标，应该返回 最靠近左边 的那一个。如果数组不存在中心下标，返回 -1 。
示例 1：
输入：nums = [1, 7, 3, 6, 5, 6] 输出：3 解释： 中心下标是 3 。 左侧数之和 sum = nums[0] + nums[1] + nums[2] = 1 + 7 + 3 = 11 ， 右侧数之和 sum = nums[4] + nums[5] = 5 + 6 = 11 ，二者相等。
示例 2：
输入：nums = [1, 2, 3] 输出：-1 解释： 数组中不存在满足此条件的中心下标。
示例 3：
输入：nums = [2, 1, -1] 输出：0 解释： 中心下标是 0 。 左侧数之和 sum = 0 ，（下标 0 左侧不存在元素）， 右侧数之和 sum = nums[1] + nums[2] = 1 + -1 = 0 。
提示：
1 <= nums.length <= 104-1000 <= nums[i] <= 1000
二、题解
2.1 前缀和的解题模板
前缀和算法是一种在处理数组或链表问题时常用的技巧，它可以有效地减少重复计算，提高算法的效率。下面是一些常见的使用前缀和算法的题目以及解题思路：
2.1.1 最长递增子序列长度
题目描述：给定一个无序数组，求最长递增子序列的长度。
解题思路：可以使用前缀和和单调栈来解决这个问题。首先，遍历数组，计算出前缀和。然后，使用单调栈记录当前递增子序列的起始位置。遍历数组时，如果当前元素大于前缀和，说明可以扩展当前递增子序列，将当前位置入栈。如果当前元素小于等于前缀和，说明当前递增子序列已经结束，弹出栈顶元素。最后，栈中剩余的元素即为最长递增子序列的起始位置，计算长度即可。
2.1.2 寻找数组中第 k 大的元素
题目描述：给定一个无序数组和一个整数k，找到数组中第k大的元素。
解题思路：可以使用前缀和和快速选择算法来解决这个问题。首先，计算出数组的前缀和。然后，使用快速选择算法在数组中找到第k小的元素。具体实现中，每次选择一个枢轴元素，将数组分成两部分，小于枢轴的元素和大于枢轴的元素。如果枢轴左边的元素个数小于k，则在左边的子数组中继续查找；如果枢轴左边的元素个数大于等于k，则在右边的子数组中继续查找。最后，当找到第k小的元素时，返回该元素即可。
2.1.3 最长公共子序列长度
题目描述：给定两个字符串，求最长公共子序列的长度。
解题思路：可以使用动态规划算法来解决这个问题。如果字符串长度分别为m和n，则可以定义一个二维数组dp[m+1][n+1]，其中dp[i][j]表示字符串s1的前i个字符和字符串s2的前j个字符的最长公共子序列长度。根据动态规划的思想，状态转移方程为dp[i][j] = max(dp[i-1][j-1], dp[i-1][j], dp[i][j-1])。如果s1[i-1]等于s2[j-1]，则dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1；否则dp[i][j]取其他两种情况中的较大值。最终结果为dp[m][n]。
2.1.4 寻找数组中第 k 小的元素
题目描述：给定一个无序数组和一个整数k，找到数组中第k小的元素。
解题思路：可以使用前缀和和快速选择算法来解决这个问题。具体实现与寻找第k大元素类似，只不过最后返回的是第k小的元素而非第k大的元素。
2.2 方法一：前缀和
题目仅说明是整数数组，无其他已知条件，因此考虑直接遍历数组。
- 设索引 i 对应变量「左侧元素相加和 leftSum」和「右侧元素相加和 rightSum」。
- 遍历数组 nums ，每轮更新 leftSum 和 rightSum。
- 遍历中，遇到满足 leftSum == rightSum 时，说明当前索引为中心下标，返回即可。
- 若遍历完成，仍未找到「中心下标」，则返回 -1 。
初始化时，相当于索引 i=−1 ，此时 leftSum = 0 , rightSum = 所有元素的和 。
需要考虑大数越界问题。题目给定整数数组 nums ，并给定取值范围。
题目的范围在 int 类型的取值范围内，因此 sum_left 和 sum_right 使用 int 类型即可。
三、代码
3.2 方法一：前缀和
Java版本：
class Solution {public int pivotIndex(int[] nums) {int leftSum = 0, rightSum = Arrays.stream(nums).sum();for (int i = 0; i < nums.length; i++) {rightSum -= nums[i];if (leftSum == rightSum) return i;leftSum += nums[i];}return -1;}
}C++版本：
class Solution {
public:int pivotIndex(vector<int>& nums) {int leftSum = 0, rightSum = accumulate(nums.begin(), nums.end(), 0);for (int i = 0; i < nums.size(); i++) {rightSum -= nums[i];if (leftSum == rightSum) return i;leftSum += nums[i];}return -1;}
};
Python版本：
class Solution:def pivotIndex(self, nums: List[int]) -> int:left_sum, right_sum = 0, sum(nums)for i in range(len(nums)):right_sum -= nums[i]if left_sum == right_sum:return ileft_sum += nums[i]return -1
Go版本：
package mainfunc pivotIndex(nums []int) int {leftSum := 0rightSum := 0for _, v := range nums {rightSum += v}for i, v := range nums {rightSum -= vif leftSum == rightSum {return i}leftSum += v}return -1
}
四、复杂度分析
4.2 方法一：前缀和
时间复杂度 O(N)： 其中 N 为数组 nums 长度。求和操作使用 O(N) 线性时间，遍历 nums 最差使用 O(N) 线性时间。
空间复杂度 O(1)： 变量 leftSum , rightSum 使用常数大小空间。