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纠缠源测定数据原理

关于纠缠源，纠缠源的质量是通过几个指标来表达的。指标又如下：同时计数（coincidence rate）以及它的图像（fringes）和表达它的纯度的“可见度”（Visibility），保真度（Fidelity），纠缠度（Tangle），和量子态层析（Quantum State Tomography）

同时计数的图像，以及“可见度”

所谓的同时计数（Coincidence rate），其实是指在输入端，也就是我们接受光子的端口，两个端口同时接受到光子的个数。我们固定其中的一个端口的偏振片角度，然后调整另一个端口的角度，从而得到的同时数-角度的关系图。这个图呈现三角函数形式，因此被叫做fringes。也通过这个图的最大值和最小值，得到了所谓的“可见度”（Visibility）。利用一些极端情况我们可以得到一些结果：对于完全理想的输出，该同时性计数正比于${\cos }^2$关系；对于完全的自然光，同时性计数是一个常数；对于混态的HH和VV态，结果中具有常数项。下面，我们将推出更详细的结果（设两端分别为A端和B端，其中B端是某个角度固定的偏振）：
投影矩阵为：
$$E(\theta )=\left(\begin{array}{cc}{\cos }^2\theta & \cos \theta \sin \theta \\ \cos \theta \sin \theta & {\sin }^2\theta \end{array}\right)$$
我们首先考虑纯态，对于密度矩阵分解为$\rho ={\rho }_a\otimes {\rho }_b$. 设A部分矩阵的变量为$\phi$，代表H和V态的比例。$\theta$代表我们的自变量，即A端的偏振片角度。因此，我们得到：
$$\begin{array}{rl}\text{Coincidence rate}& =\text{Tr}[M_a\otimes M_b\rho ]=\text{Tr}[(M_a{\rho }_a)\otimes (M_b{\rho }_b)]\\ & =k\text{Tr}[M_a{\rho }_a]\\ & =k[\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos 2\varphi \cos 2\theta +\frac{1}{2}\sin 2\varphi \cos 2\theta ]\\ & =k{\cos }^2(\theta -\varphi )\end{array}$$
同时计算可以得到，如果两个态具有相位差，同样会引入常数项。下面我们计算如果是混态的结果。因此分解密度矩阵为: $\rho =p{\rho }_{a1}\otimes {\rho }_{b1}+(1-p){\rho }_{a2}\otimes {\rho }_{b2}$. p为这两部分所占的比例，因此我们得到的同时计数为（令k=1）：
我们做如下的定义：
$$\begin{gathered} A=\sqrt{1+2p^2-2p} \\ \sqrt{2}/2\le A\le 1 \end{gathered}$$
显然A小于1. 这对于后面的计数十分重要。
$$\begin{array}{rl}\text{Coincidence rate}& =p{\cos }^2(\theta -{\varphi }_1)+(1-p){\cos }^2(\theta -{\varphi }_2)\\ & =\frac{1}{2}+\frac{A}{2}[\frac{p}{A}\cos 2(\theta -{\varphi }_1)+\frac{1-p}{A}\cos 2(\theta -{\varphi }_2)]\\ & =\frac{1}{2}+\frac{A}{2}\cos 2(\theta +\delta )\\ & =A{\cos }^2(\theta +\delta )+\frac{1-A}{2}\end{array}$$
显然最后一项代表着由于是混态导致的常数项，它是由混态的比例所决定的。因此我们计算：
$$\text{Visibility}=\frac{V_{max}-V_{min}}{V_{max}+V_{min}}=A$$

保真度和纠缠度

保真度和纠缠度也是实验结果的一个重要的部分。它们的定义比较简单。首先，保真度（Fidelity）指的是我们在多大程度上得到了我们想要的态。在纠缠态实验中，我们的需要的态是：
$$|{\Psi }_{-}⟩=|HV⟩-|VH⟩$$
因此，保真度的定义是：
$$\text{Fidelity}=⟨{\Psi }_{-}|\rho |{\Psi }_{-}⟩$$
对于纠缠度（Tangle）的定义，这里使用的是Concurrance的概念。它是做了如下的定义而计算出来的：
$$\begin{gathered} \tilde{\rho }=({\sigma }_y\otimes {\sigma }_y){\rho }^{\ast }({\sigma }_y\otimes {\sigma }_y) \\ \text{其中，}{\sigma }_y=\left(\begin{array}{cc}0& -i\\ i& 0\end{array}\right) \end{gathered}$$
根据此，我们计算出 $\rho \tilde{\rho }$的本征值为：${\lambda }_1,{\lambda }_2,{\lambda }_3,{\lambda }_4$。 然后Concurrance的定义为：
C = max ⁡ { λ 1 − λ 2 − λ 3 − λ 4 , 0 } C=\max\{ \lambda_1-\lambda_2-\lambda_3-\lambda_4, 0\} C=max{λ1​−λ2​−λ3​−λ4​,0}
可以证明：C=0 对应的是完全不纠缠态，而C=1对应的是最大纠缠态。

量子态层析

量子层析可以分为：量子态层析 和 量子过程层析。这里介绍一下量子态层析。所谓的量子态层析，就是指的是如何通过测量的方式得到态密度$\rho$。
态密度是我们常用的，描述量子态的纯度等量子态的好坏量。它的定义如下：
$$\rho =\sum _0^n{P}_n|{\phi }_n⟩⟨{\phi }_n|$$
其中，$P_n$是产生这个态$|{\phi }_n⟩$的概率，或是它占所有态的比重。

1-qubit的量子态层析

1-qubit的定义的只有一个可以变化的位置，且这个位置只能去0或者1. 因此可以写成：
$$|\phi ⟩=\cos \frac{\theta }{2}|0⟩+\sin \frac{\theta }{2}{e}^{i\varphi }|1⟩$$
其中有两个变量$\theta$和$\varphi$。因此1-qubit的密度矩阵是个2维矩阵。
$$\rho =\left(\begin{array}{cc}{a}_{00}& a_{01}\\ a_{10}& a_{11}\end{array}\right)$$
考虑到密度矩阵满足的性质：
$$\begin{gathered} \text{Tr }\rho =1 \\ \rho ={\rho }^{†} \end{gathered}$$
因此得到，$a_{00}$和$a_{11}$是实数。$a_{10}$=$a_{01}^{†}$。因此，决定这个密度矩阵的分别是4个实数：$a_{00},a_{11},\text{Re }{a}_{10},\text{Im }{a}_{10}$
因此，我们可以把他们拆解为如下的形式：
$$\rho =a_{00}\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right)+a_{11}(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 1\end{array}$$