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二叉搜索树的使用

二叉搜索树 相较于 普通的二叉树来说:

1. 根节点的左子树的所有键值都 小于 根节点, 根节点的右子树的所有键值 大于 根节点
2. 根节点的 左右子树 都是 二叉搜索树
3. 中序遍历 是 升序的 ⇒ 二叉搜素树 又叫作 二叉排序树

• 子树 && 节点
  

1. 查找
   假如查找 key, 有如下 四种情况:
   1. 如果 key > 根节点的值, 那么就去根节点的右子树去查找
   2. 如果 key <根节点的值, 那么就去根节点的左子树去查找
   3. 如果 key = 根节点的值, 那么就找到了
   4. 如果找到 空, 那就不存在

• 查找的时间复杂度是 O(高度次), 而不是 O(logN)
  如果是 完全二叉树, 那么就是 O(logN); 如果 退化到极限情况, 类似于链表, 那么就是 O(N)
  
  所以, 总结下来, 时间复杂度就是 O(高度次)
  那么如何解决这种 退化问题呢? ⇒ AVL树 和 红黑树 就是针对这种情况做了特殊处理 --> 旋转

2. 插入
   总体思想: 找到非空节点去插入
   

3. 删除key

   1. 先找到key的位置, 有两种情况:
      1. 没找到, 那就直接返回
      2. 找到了key的位置, 记作cur. 找到了也有三种情况:
         1. cur的左子树为空
         2. cur的右子树为空
         3. cur的左右子树都不为空

由于 cur要进行删除, 要把cur后面的内容链接到parent的后面. && cur也有两种可能 parent的左子树 or 右子树 ⇒ 我们要cur后面的内容链接到 cur处于parent的位置
删除具体如下👇👇👇

1. cur的右子树为空
   (1) cur是parent的左子树
   
   (2) cur是parent的右子树
   
2. cur的左子树为空
   (1) cur是parent的左子树
   
   (2) cur是parent的右子树
   
3. cur的左右子树都不为空
   🗨️删除掉cur, 那么我们如何链接cur的左右子树呢?
   • 可以找一个节点来替换掉cur, 然后我们来处理这个节点的链接关系就好了
     🗨️替换过去, 也不改变二叉搜索树的结构, 那么节点是什么好呢? 后面集中处理这个节点, 那么这个节点应该容易处理才对, 那么这个节点是叶子节点吗?
   • 替换过去, 不改变二叉树的结构 — — 替换节点应该为 cur的左子树的最大节点 或者 cur的右子树的最小节点 ⇐ 中序遍历, cur旁边的两个数; 中序是 左跟右, ⇒ 那么就应该是左子树的最大节点, 或者右子树的最小节点
     左子树的最大节点, 或者右子树的最小节点; 正好是叶子节点 ⇒ 那么我们处理这个替换节点也比较 容易 ⇒ 思想同上 替换节点的左子树为空, 或 替换节点的右子树为空
     

二叉搜索树的模拟实现(K)

整体结构

Node类

	template<class T>struct BSTreeNode{public:BSTreeNode(const T& key):_left(nullptr),_right(nullptr),_key(key){}public:BSTreeNode<T>* _left;BSTreeNode<T>* _right;T _key;};

BSTree类

template<class T>
class BSTree
{typedef BSTreeNode<T> Node;
public:BSTree():_root(nullptr){}// 析构函数~BSTree(){_BSTree(_root);}private:// 析构函数void _BSTree(Node* root){if (root == nullptr)return;// 后序遍历进行删除_BSTree(root->_left);_BSTree(root->_right);delete root;}// 成员函数Node* _root;
}

循环版本

1. find

Node* find(const K& key)
{return _find(_root, key);
}private:
Node* _find(Node* root, const T& key)
{Node* cur = root;while (cur){if (key > cur->_key){cur = cur->_right;}else if (key < cur->_key){cur = cur->_left;}else{return cur;}}return nullptr;
}

2. insert

bool insert(const T& key)
{Node* newnode = new Node(key);if (_root == nullptr){_root = newnode;return true;}Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;// 寻找插入的位置while (cur){if (key > cur->_key){parent = cur;cur = cur->_right;}else if (key < cur->_key){parent = cur;cur = cur->_left;}else{break;}}// 链接if (key > parent->_key){parent->_right = newnode;}else if (key < parent->_key){parent->_left = newnode;}else{return false;}return true;
}

3. inorder

void Inorder()
{_Inorder(_root);
}private:
void _Inorder(Node* root)
{if (root == nullptr)return;_Inorder(root->_left);std::cout << root->_key << " ";_Inorder(root->_right);}

4. erase
   
   

bool erase(const T& key)
{return _erase(_root, key);
}private:
bool _erase(Node* root, const T& key)
{// 先找到位置Node* parent = root;Node* cur = root;while (cur){if (key > cur->_key){parent = cur;cur = cur->_right;}	else if (key < cur->_key){parent = cur;cur = cur->_left;}// 找到了else{// 左为空if (cur->_left == nullptr){if (cur == _root){_root = cur->_right;}else{// 判读cur是parent的位置if (cur == parent->_left){parent->_left = cur->_right;}else if (cur == parent->_right){parent->_right = cur->_right;}}}// 右为空else if (cur->_right == nullptr){if (cur == _root){_root = cur->_left;}else{// 判读cur是parent的位置if (cur == parent->_left){parent->_left = cur->_left;}else if (cur == parent->_right){parent->_right = cur->_left;}}}// 左右都不为空else{// 先找到cur的左子树的最大值 或 右子树的最小值// parent必须初始化为cur -- 以防删除的就是头节点Node* parent = cur;Node* LeftMax = cur->_left;while (LeftMax->_right){parent = LeftMax;LeftMax = LeftMax->_right;}// 交换cur 和 LeftMax的值std::swap(cur->_key, LeftMax->_key);// 改变链接关系if (parent->_left == LeftMax){parent->_left = LeftMax->_left;}else if (parent->_right == LeftMax){parent->_right = LeftMax->_left;}cur = LeftMax;}// 集中释放 curdelete cur;return true;}}return false;
}

递归版本

1. findr
   无需链接关系 — — 不用引用即可
   1. 递归退出条件 root == nullptr, 那就返回nullptr
   2. 根据二叉搜索数的特性: 大了往右边走, 小了往左边走, 相等就返回当前节点的指针;

Node* findr(const T& key)
{return _findr(_root, key);
}private:
Node*_findr(Node* root, const T& key)
{if (root == nullptr)return nullptr;if (key < root->_key){_findr(root->_left, key);}else if (key > root->_key){_findr(root->_right, key);}else{return root;}
}

2. insertr
   需要重新链接 -- -- 引用的妙用
   总体思想 : 遇到空就插入
   1. 递归返回条件 : 遇到空, 插入后, 返回true
   2. 二叉树的特性: 大了往右边走, 小了往左边走, 相等返回false
      
      

bool insertr(const T& key)
{return _insertr(_root, key);
}private:
bool _insertr(Node*& root, const T& key)
{if (root == nullptr){root = new Node(key);return true;}if (key > root->_key){return _insertr(root->_right, key);}else if (key < root->_key){return _insertr(root->_left, key);}else{return false;}
}

3. eraser
   需要重新链接 -- -- 引用的妙用
   1. 递归结束条件: 遇到空就返回 false
   2. 先找到位置, 记作 cur
   3. cur有三种情况 :cur的左子树为空, cur的右子树为空, cur的左右子树都不为空; 三种情况分类讨论

这个和上面的 引用的妙用是一样的道理, 那么我就不在这里画 递归展开图

bool eraser(const T& key)
{return _eraser(_root, key);
}private:
bool _eraser(Node*& root, const T& key)
{if (root == nullptr){return false;}if (key > root->_key){_eraser(root->_right, key);}else if (key < root->_key){_eraser(root->_left, key);}else{// 由于是上面节点的引用 && 要删掉root节点// ⇒ 找一个背锅侠来代替root节点去删除Node* tem = root;// 左子树为空if (root->_left == nullptr){root = root->_right;}//右子树为空else if (root->_right == nullptr){root = root->_left;}// 左右子树都不为空else{// 找到左树的最大节点Node* maxleft = root->_left;while (maxleft->_right){maxleft = maxleft->_right;}// 交换root 和 maxleft的值std::swap(maxleft->_key, root->_key);// 重新链接root = maxleft->_left;// 背锅侠就位tem = maxleft;}// 统一删除delete tem;return true;}return false;
}

二叉搜索树的应用

二叉搜索树主要有两个版本 K版本 和 KV版本
KV版本 相较于 K版本 就多了个 value

template<class K, class V>struct BSTreeNode{public:BSTreeNode(const K& key, const V& value):_left(nullptr),_right(nullptr),_key(key),_value(value){}public:BSTreeNode<K,V>* _left;BSTreeNode<K,V>* _right;K _key;V _value;};

template<class K, class V>
class BSTree
{typedef BSTreeNode<K, V> Node;
public:BSTree():_root(nullptr){}
private:Node* _root;
}

由于 还是对 K 进行操作 ⇒ 我们这里就不写 KV的代码了. 后面源码会附上 KV的完整代码

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二叉搜索树主要应用于两种模型: K模型 和 KV模型

1. K模型 — — 根据关键码Key去解决 在不在的问题
   比如 : 判断单词是否拼写错误 (将词库导入二叉搜索树, 然后判断在不在)

void test1()
{// 模拟导入词库muyu::BSTree<string, string> World;World.insert("insert", "插入");World.insert("input", "输入");World.insert("output", "输出");World.insert("love", "爱情");string str;while (cin >> str){// 查找是否在词库中出现auto ret = World.find(str);if (ret){cout << "输入正确" << endl;}else{cout << "查无单词, 请重新输入" << endl;}}
}int main()
{test1();return 0;
}

运行结果:

2. KV模型 — — 每一个关键码Key, 都有一个与之对应的 Value, 存在 <Key, Value>键值对
   比如: 统计水果出现的次数

void test2()
{muyu::BSTree<string, int> cnt;string arr[] = { "苹果", "西瓜", "苹果", "西瓜", "苹果", "苹果", "西瓜","苹果", "香蕉", "苹果", "香蕉" };for (const auto& e : arr){auto res = cnt.find(e);// 第一次插入, 次数就给个1if (!res){cnt.insert(e, 1);}// 不是第一次插入, 就在key对应的value进行++else{res->_value++;}}cnt.Inorder();
}int main()
{test2();return 0;
}

运行结果:

苹果 6
西瓜 3
香蕉 2

源码(kv)

#pragma oncenamespace muyu
{template<class K, class V>struct BSTreeNode{public:BSTreeNode(const K& key = K(), const V& value = V()):_left(nullptr),_right(nullptr),_key(key),_value(value){}public:BSTreeNode<K,V>* _left;BSTreeNode<K,V>* _right;K _key;V _value;};template<class K, class V>class BSTree{typedef BSTreeNode<K, V> Node;public:BSTree():_root(nullptr){}~BSTree(){_BSTree(_root);}bool insert(const K& key, const V& value){Node* newnode = new Node(key, value);if (_root == nullptr){_root = newnode;return true;}Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;// 寻找插入的位置while (cur){if (key > cur->_key){parent = cur;cur = cur->_right;}else if (key < cur->_key){parent = cur;cur = cur->_left;}else{break;}}// 链接if (key > parent->_key){parent->_right = newnode;}else if (key < parent->_key){parent->_left = newnode;}else{return false;}return true;}bool insertr(const K& key){return _insertr(_root, key);}void Inorder(){_Inorder(_root);}Node* find(const K& key){return _find(_root, key);}Node* findr(const K& key){return _findr(_root, key);}bool erase(const K& key){return _erase(_root, key);}bool eraser(const K& key){return _eraser(_root, key);}private:void _BSTree(Node* root){if (root == nullptr)return;// 后序遍历进行删除_BSTree(root->_left);_BSTree(root->_right);delete root;}void _Inorder(Node* root){if (root == nullptr)return;_Inorder(root->_left);std::cout << root->_key << " " << root->_value << std::endl;_Inorder(root->_right);}Node* _insertr(Node*& root, const K& key, const V& value){if (root == nullptr){root = new Node(key, value);return root;}if (key > root->_key){return _insertr(root->_right, key);}else if (key < root->_key){return _insertr(root->_left, key);}else{return nullptr;}}Node* _find(Node* root, const K& key){Node* cur = root;while (cur){if (key > cur->_key){cur = cur->_right;}else if (key < cur->_key){cur = cur->_left;}else{return cur;}}return nullptr;}Node* _findr(Node* root, const K& key){if (root == nullptr)return nullptr;if (key < root->_key){_findr(root->_left, key);}else if (key > root->_key){_findr(root->_right, key);}else{return root;}}bool _erase(Node* root, const K& key){// 先找到位置Node* parent = root;Node* cur = root;while (cur){if (key > cur->_key){parent = cur;cur = cur->_right;}	else if (key < cur->_key){parent = cur;cur = cur->_left;}// 找到了else{// 左为空if (cur->_left == nullptr){if (cur == _root){_root = cur->_right;}else{// 判读cur是parent的位置if (cur == parent->_left){parent->_left = cur->_right;}else if (cur == parent->_right){parent->_right = cur->_right;}}}// 右为空else if (cur->_right == nullptr){if (cur == _root){_root = cur->_left;}else{// 判读cur是parent的位置if (cur == parent->_left){parent->_left = cur->_left;}else if (cur == parent->_right){parent->_right = cur->_left;}}}// 左右都不为空else{// 先找到cur的左子树的最大值 或 右子树的最小值Node* parent = cur;Node* LeftMax = cur->_left;while (LeftMax->_right){parent = LeftMax;LeftMax = LeftMax->_right;}// 交换cur 和 LeftMax的值std::swap(cur->_key, LeftMax->_key);// 改变链接关系if (parent->_left == LeftMax){parent->_left = LeftMax->_left;}else if (parent->_right == LeftMax){parent->_right = LeftMax->_left;}cur = LeftMax;}delete cur;return true;}}return false;}bool _eraser(Node*& root, const K& key){if (root == nullptr){return false;}if (key > root->_key){_eraser(root->_right, key);}else if (key < root->_key){_eraser(root->_left, key);}else{Node* tem = root;if (root->_left == nullptr){root = root->_right;}else if (root->_right == nullptr){root = root->_left;}else{Node* maxleft = root->_left;while (maxleft->_right){maxleft = maxleft->_right;}std::swap(maxleft->_key, root->_key);root = maxleft->_left;tem = maxleft;}delete tem;return true;}return false;}Node* _root;};
}

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晚日寒鸦一片愁。柳塘新绿却温柔。若教眼底无离恨，不信人间有白头。
肠已断，泪难收。相思重上小红楼。情知已被山遮断，频倚阑干不自由。
— — 辛弃疾· 《鹧鸪天》