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圆的参数方程是如何推导的？
- 1. 圆的三种参数表示
- 2. 三角函数万能公式
- 3. 回到圆的参数方程
1. 圆的三种参数表示
已知圆的第一种参数方程为：
x 2 + y 2 = r x^2+y^2=r x2+y2=r
圆的图像如下：
通过上图，不难理解，圆的参数方程还可以用三角函数表示，也就是第二种参数表示方式，x值为余弦值，y值为正弦值：
x = r cos ( θ ) y = r sin ( θ ) x=r\cos (\theta) \\ y=r\sin (\theta) x=rcos(θ)y=rsin(θ)
θ \theta θ的取值自然是 0 − 2 π 0-2\pi 0−2π。那么除了用三角函数表示之外，圆的方程还可以表示如下，也就是第三种参数表示：
x = 1 − t 2 1 + t 2 r y = 2 t 1 + t 2 r x=\frac {1-t^2}{1+t^2}r \\[1em] y=\frac {2t}{1+t^2}r x=1+t21−t2ry=1+t22tr
t t t的取值是全体实数。那这第三种表达方式是怎么推导出来的呢？答案还是三角函数。
2. 三角函数万能公式
在第二种参数表达中， sin θ \sin \theta sinθ和 cos θ \cos \theta cosθ可以分别写作：
sin ( θ ) = 2 tan θ 2 1 + tan 2 θ 2 cos ( θ ) = 1 − tan 2 θ 2 1 + tan 2 θ 2 \sin (\theta)=\frac {2\tan \frac{\theta}{2}}{1+\tan^2 \frac {\theta}{2}}\\[1em] \cos (\theta)=\frac {1-\tan^2 \frac {\theta}{2}}{1+\tan^2 \frac {\thet