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简单产生复杂，混沌孕育秩序

0. 引言

a. 分形 fractal

【也叫碎形】
分形是一种具有自相似性和复杂结构的几何图形。在分形结构中，无论放大多少次，局部的结构特征都与整体结构相似。这种特性在自然界中广泛存在，比如树木枝干、山脉轮廓、云的形状等。

一些常见的分形：
🔸 规则分形：理想的数学模型，自相似性是明显的。包括但不限于：科赫曲线，科赫雪花，谢尔宾斯基三角形，谢尔品斯基地毯，康托尔集，皮亚诺曲线等。
🔹 无规分形：在物理学或自然界存在的分形，自相似是近似的或统计的。包括但不限于：雪花、海岸线、海绵、叶脉和毛细血管，茱利亚集，曼德尔布罗特集合等。

b. 混沌 chaos

混沌系统是指具有高度敏感性和不确定性的动态系统，其行为在长期预测中极为复杂。混沌系统通常表现出对初始条件的敏感性（蝴蝶效应），即微小的变化可以导致完全不同的结果，而且其行为往往看似随机，但实际上是由确定的规则产生的。

一些常见的混沌系统：
洛伦兹吸引子，罗西尔系统，Henon映射，杜福尔系统，物流映射，摆的混沌，干涉系统，螺旋混沌等。

c. 分形与混沌

分形强调几何图形和自相似性的特性，而混沌系统则侧重于动态行为和时间演化的性质。

分形具有缩放对称性，在标度变换下仍具有分形整体上相似的复杂性和不规则性（即无穷层次的自相似性），在某些情况下，分形可以是混沌系统的一种表现形式，出现在其分析中，但并非所有分形都是混沌系统。
有些分形（例如：洛伦兹吸引子，曼德尔布罗特集合）展示了混沌特性，而其他一些分形（例如：康托尔集）则缺乏动态的混沌行为。

d. 分维 D

零维的点、一维的线、二维的面、三维的立体、四维的时空，然而空间维数也可以是分数，不是整数。

分维（fractional dimension）$D=\frac{logM}{logn}$

图形由M个相等的部分组成，其在先行尺度上是原图形的$\frac{1}{n}$ ，则$M\times {(\frac{1}{n})}^D=1$ .

比如：

谢尔品斯基地毯
$$\begin{array}{rl}D& =\frac{lg3}{lg2}\approx 1.585\end{array}$$

科赫曲线 $$\begin{array}{rl}D& =\frac{lg4}{lg3}\approx 1.262\end{array}$$

二维扩散置限凝聚
$$\begin{array}{rl}D& =1.66\sim 1.71\end{array}$$

1. 常见的分形

a. 蕨菜叶分形 fern

$$f(x,y)=\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}e\\ f\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}ax+by+e\\ cx+dy+f\end{array}\right]$$

$\omega$	a	b	c	d	e	f	p	产生的部分
ƒ1	0	0	0	0.16	0	0	0.01	茎
ƒ2	0.85	0.04	−0.04	0.85	0	1.60	0.84	连续变小的小叶子
ƒ3	0.20	−0.26	0.23	0.22	0	1.60	0.07	最大的左侧叶
ƒ4	−0.15	0.28	0.26	0.24	0	0.44	0.07	最大的右侧叶

a-f 系数；p 概率因子
所有变换的概率总和等于1，以保证在随机选择时，只有一项变换会被选中。

最知名的蕨菜叶分形是Barnsley Fern.

Barnsley fern

茎：
$$f_1(x,y)=\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0.16\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ 0.16y\end{array}\right]$$

连续变小的小叶子:
$$f_2(x,y)=\left[\begin{array}{cc}0.85& 0.04\\ -0.04& 0.85\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}0\\ 1.6\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0.85x+0.04y\\ -0.04x+0.85y+1.6\end{array}\right]$$

最大的左侧叶:
$$f_3(x,y)=\left[\begin{array}{cc}0.2& -0.26\\ 0.23& 0.22\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}0\\ 1.6\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0.2x-0.26y\\ 0.23x+0.22y+1.6\end{array}\right]$$

最大的右侧叶:
$$f_4(x,y)=\left[\begin{array}{cc}-0.15& 0.28\\ 0.26& 0.24\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}0\\ 0.44\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-0.15x+0.28y\\ 0.26x+0.24y+0.44\end{array}\right]$$

通过这些参数，可以创建不同的蕨类品种，比如：变化为Thelypteridaceae fern.

Thelypteridaceae fern

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$\omega$	a	b	c	d	e	f	p	产生的部分
ƒ1	0	0	0	0.25	0	-0.4	0.02	茎
ƒ2	0.95	0.005	−0.005	0.93	-0.002	0.5	0.84	连续变小的小叶子
ƒ3	0.035	−0.2	0.16	0.04	-0.09	0.02	0.07	最大的左侧叶
ƒ4	−0.04	0.2	0.16	0.04	0.083	0.12	0.07	最大的右侧叶

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改变茎的朝向：

# 旋转点以使茎朝左
# 这里使用旋转矩阵将点旋转 180 度（在 x 轴上翻转）
points[:, 0] = -points[:, 0]

Barnsley fern

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变色

b. 科赫曲线 KochCurve

turtle绘制科赫曲线：

import turtle
import threadingpens = [] # 画笔列表
iterations_list = [1, 2, 3, 4, 5, 6] # 迭代次数列表
y_positions = [-250, -150, -50, 50, 150, 250] # 各个画笔的起始y坐标def koch_curve(t, size, iterations):# 科赫曲线if iterations == 0:t.forward(size)else:for angle in [0, 60, -120, 60]:t.left(angle)koch_curve(t, size / 3, iterations - 1)def draw_koch_curve(t, iterations):# 绘制科赫曲线t.pendown()koch_curve(t, 300, iterations)t.hideturtle()def setup_turtles():# 设置多个画笔for i, iterations in enumerate(iterations_list):t = turtle.Turtle()t.speed(0)  # 设置绘制速度为最快t.penup()t.goto(-150, y_positions[i])  # 设置起始位置，x 坐标固定，y 坐标变化pens.append((t, iterations))def draw_curve_in_thread(t, iterations):# 在新线程中绘制科赫曲线draw_koch_curve(t, iterations)# 创建一个 turtle 窗口
screen = turtle.Screen()
screen.title("Multiple Koch Curves")setup_turtles() # 设置画笔# 创建并启动线程
threads = []
def draw_all_curves():for t, iterations in pens:thread = threading.Thread(target=draw_curve_in_thread, args=(t, iterations))threads.append(thread)thread.start()# 等待所有线程完成
for thread in threads:thread.join()draw_all_curves()turtle.done() # 保持窗口开启，直到用户关闭

RuntimeError: main thread is not in main loop

threads = []for t, iterations in pens:thread = threading.Thread(target=draw_curve_in_thread, args=(t, iterations))threads.append(thread)thread.start()# 等待所有线程完成
for thread in threads:thread.join()turtle.done() # 保持窗口开启，直到用户关闭

解决办法

c. 科赫雪花 KochSnowflake

可以由科赫曲线旋转得到。

import turtledef koch_curve(size, iterations):# 递归绘制科赫曲线if iterations == 0:turtle.fd(size)else:for angle in [0, 60, -120, 60]:turtle.left(angle)koch_curve(size / 3, iterations - 1)# 设置 turtle 窗口
turtle.setup(800, 600)  # 增加高度以适应更大的布局
turtle.speed(0)  # 设置为最快速度
turtle.pensize(1)# 绘制多个不同迭代次数的科赫曲线
iterations_list = [0, 1, 2, 3, 4]  # 定义要绘制的迭代次数
size = 100  # 每条曲线的长度，可以调整以适应布局
horizontal_spacing = 110  # 各个曲线间的垂直间距# 循环绘制
for i, iterations in enumerate(iterations_list):turtle.penup()turtle.goto( i*horizontal_spacing -300, 250 -size / 2)  # 适当的垂直间距turtle.setheading(0)  # 确保每条曲线都从水平位置开始绘制turtle.pendown()koch_curve(size, iterations)  # 绘制科赫曲线# 旋转并绘制相同曲线两次，形成完整的三角形for _ in range(2):turtle.right(120)koch_curve(size, iterations)turtle.hideturtle() # 隐藏 turtle
turtle.done() 

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