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如何设计出一个好网站,教育培训机构官网,wordpress 中文包,网站用什么语言做会比较好目录 随机过程的基本概念随机过程的分布律和数字特征复随机过程几种重要的随机过程正交增量过程独立增量过程平稳独立增量过程马尔可夫过程正态过程和维纳过程平稳过程 随机过程的基本概念 随机过程的分布律和数字特征 定义3:设 X T { X ( t ) , t ∈ T } X_T\{X…

目录

  • 随机过程的基本概念
  • 随机过程的分布律和数字特征
  • 复随机过程
  • 几种重要的随机过程
    • 正交增量过程
    • 独立增量过程
    • 平稳独立增量过程
    • 马尔可夫过程
    • 正态过程和维纳过程
    • 平稳过程

随机过程的基本概念

随机过程的分布律和数字特征

定义3:设 X T = { X ( t ) , t ∈ T } X_T=\{X(t),t \in T\} XT={X(t),tT}是随机过程,如果对任意 t ∈ T t \in T tT E X ( t ) EX(t) EX(t)存在,则称函数
m X ( t ) = E X ( t ) m_X(t)=EX(t) mX(t)=EX(t)
X T X_T XT均值函数
若对任意的 t ∈ T t \in T tT E ( X ( t ) ) 2 E(X(t))^2 E(X(t))2存在,则称 X T X_T XT为二阶矩过程,而称
B X ( s , t ) = E [ { X ( s ) − m X ( s ) } { X ( t ) − m X ( t ) } ] , s , t ∈ T B_X(s,t)=E[\{X(s)-m_X(s)\}\{X(t)-m_X(t)\}], s,t \in T BX(s,t)=E[{X(s)mX(s)}{X(t)mX(t)}],s,tT
X T X_T XT协方差函数
D X ( s , t ) = B X ( t , t ) = E [ { X ( t ) − m X ( t ) } 2 ] , s , t ∈ T D_X(s,t)=B_X(t,t)=E[\{X(t)-m_X(t)\}^2], s,t \in T DX(s,t)=BX(t,t)=E[{X(t)mX(t)}2],s,tT
X T X_T XT方差函数
R X ( s , t ) = E [ X ( t ) X ( s ) ] R_X(s,t)=E[X(t)X(s)] RX(s,t)=E[X(t)X(s)]
X T X_T XT相关函数

复随机过程

几种重要的随机过程

正交增量过程

定义6:设 { X ( t ) , t ∈ T } \{X(t),t \in T\} {X(t),tT}是零均值的二阶矩过程,若对任意的 t 1 < t 2 ≤ t 3 < t 4 ∈ T t_1 < t_2 \leq t_3 <t_4 \in T t1<t2t3<t4T,有
E [ ( X ( t 2 ) − X ( t 1 ) ) ( X ( t 4 ) − X ( t 3 ) ‾ ) ] = 0 E[(X(t_2)-X(t_1))(\overline{X(t_4)-X(t_3)})]=0 E[(X(t2)X(t1))(X(t4)X(t3))]=0
则称X(t)为正交增量过程

独立增量过程

定义7:设 { X ( t ) , t ∈ T } \{X(t),t \in T\} {X(t),tT}是随机过程,若对任意的正整数n和 t 1 < t 2 < t 3 < . . . < t n − 1 < t n ∈ T t_1 < t_2 < t_3 <...<t_{n-1}<t_n \in T t1<t2<t3<...<tn1<tnT,随机变量 X ( t 2 ) − X ( t 1 ) , X ( t 3 ) − X ( t 2 ) , . . . , X ( t n ) − X ( t n − 1 ) X(t_2)-X(t_1),X(t_3)-X(t_2),...,X(t_n)-X(t_{n-1}) X(t2)X(t1),X(t3)X(t2),...,X(tn)X(tn1)是相互独立的,称 { X ( t ) , t ∈ T } \{X(t),t \in T\} {X(t),tT}独立增量过程,又称可加过程

平稳独立增量过程

定义8:设 { X ( t ) , t ∈ T } \{X(t),t \in T\} {X(t),tT}是独立增量过程,若对 s < t s<t s<t,随机变量 X ( t ) − X ( s ) X(t)-X(s) X(t)X(s)的分布仅依赖于 t − s t-s ts,则称 { X ( t ) , t ∈ T } \{X(t),t \in T\} {X(t),tT}平稳独立增量过程

例子:考虑液体表面物质的运动。设X(t)表示悬浮在液面上的微粒位置的横坐标,则 { X ( t ) , t ∈ T } \{X(t),t \in T\} {X(t),tT}是随机过程。由于微粒的运动是大量分子的随机碰撞引起的,因此, { X ( t ) , t ∈ T } \{X(t),t \in T\} {X(t),tT}平稳独立增量过程

马尔可夫过程

定义9:设 { X ( t ) , t ∈ T } \{X(t),t \in T\} {X(t),tT}为随机过程,若对任意正整数n和 t 1 < t 2 < . . . t n ∈ T t_1 < t_2<...t_n \in T t1<t2<...tnT P ( X ( t 1 ) = x 1 , X ( t 2 ) = x 2 , . . . , X ( t n ) = x n ) > 0 P(X(t_1)=x_1,X(t_2)=x_2,...,X(t_n)=x_n)>0 P(X(t1)=x1,X(t2)=x2,...,X(tn)=xn)>0,其条件分布满足:
P { X ( t n ) ≤ x n ∣ X ( t 1 ) = x 1 , X ( t 2 ) = x 2 , . . . X ( t n − 1 ) = x n − 1 } P\{X(t_n) \leq x_n | X(t_1)=x_1,X(t_2)=x_2,...X(t_{n-1})=x_{n-1}\} P{X(tn)xnX(t1)=x1,X(t2)=x2,...X(tn1)=xn1}
= P { X ( t n ) ≤ x n ∣ X ( t n − 1 ) = x n − 1 } =P\{X(t_n) \leq x_n | X(t_{n-1})=x_{n-1}\} =P{X(tn)xnX(tn1)=xn1}
则称 { X ( t ) , t ∈ T } \{X(t),t \in T\} {X(t),tT}马尔可夫过程

正态过程和维纳过程

定义10:设 { X ( t ) , t ∈ T } \{X(t),t \in T\} {X(t),tT}是随机过程,若对任意正整数n和 t 1 < t 2 < . . . t n ∈ T t_1 < t_2<...t_n \in T t1<t2<...tnT ( X ( t 1 ) , X ( t 2 ) , . . . , X ( t n ) ) (X(t_1),X(t_2),...,X(t_n)) (X(t1),X(t2),...,X(tn))是n维正态随机变量,则称 { X ( t ) , t ∈ T } \{X(t),t \in T\} {X(t),tT}正态过程高斯过程

由于正态过程的一阶矩和二阶矩存在,所以正态过程就是二阶矩过程。

定义11:设 { W ( t ) , − ∞ < t < ∞ } \{W(t),-\infty<t< \infty \} {W(t),<t<}为随机过程,如果:
(1) W ( 0 ) = 0 W(0)=0 W(0)=0
(2) { W ( t ) , − ∞ < t < ∞ } \{W(t),-\infty<t< \infty \} {W(t),<t<}是平稳独立增量过程;
(3)对$∀ s,t $,增量 W ( t ) − W ( s ) N ( 0 , σ 2 ∣ t − s ∣ ) , σ 2 > 0 W(t)-W(s)~N(0,\sigma^2|t-s|),\sigma^2>0 W(t)W(s) N(0,σ2ts),σ2>0
则称 { W ( t ) , − ∞ < t < ∞ } \{W(t),-\infty<t< \infty \} {W(t),<t<}维纳过程,也称为布朗运动过程

定理:设 { W ( t ) , − ∞ < t < ∞ } \{W(t),-\infty<t< \infty \} {W(t),<t<}是参数为 σ 2 \sigma^2 σ2的维纳过程,则:
(1)对任意 t ∈ ( − ∞ , ∞ ) , W ( t ) N ( 0 , σ 2 ∣ t ∣ ) t \in (-\infty,\infty),W(t)~N(0,\sigma^2|t|) t(,),W(t) N(0,σ2t)
(2)对任意 − ∞ < a < s , t < ∞ -\infty<a<s,t<\infty <a<s,t<
E [ ( W ( s ) − W ( a ) ) ( W ( t ) − W ( a ) ) ] = σ 2 m i n ( s − a , t − a ) E[(W(s)-W(a))(W(t)-W(a))]=\sigma^2min(s-a,t-a) E[(W(s)W(a))(W(t)W(a))]=σ2min(sa,ta)
特别, R W ( s , t ) = σ 2 m i n ( s , t ) R_W(s,t)=\sigma^2min(s,t) RW(s,t)=σ2min(s,t)

平稳过程

定义12:设 { X ( t ) , t ∈ T } \{X(t),t \in T\} {X(t),tT}是随机过程,如果对任意常数 τ \tau τ和正常数n, t 1 < t 2 < . . . t n ∈ T t_1 < t_2<...t_n \in T t1<t2<...tnT t 1 + τ < t 2 + τ < . . . t n + τ ∈ T t_1 +\tau< t_2+\tau<...t_n+\tau \in T t1+τ<t2+τ<...tn+τT ( X ( t 1 ) , X ( t 2 ) , . . . , X ( t n ) ) (X(t_1),X(t_2),...,X(t_n)) (X(t1),X(t2),...,X(tn)) ( X ( t 1 + τ ) , X ( t 2 + τ ) , . . . , X ( t n + τ ) ) (X(t_1+\tau),X(t_2+\tau),...,X(t_n+\tau)) (X(t1+τ),X(t2+τ),...,X(tn+τ))有相同的联合分布,则称 { X ( t ) , t ∈ T } \{X(t),t \in T\} {X(t),tT}严平稳分布,也称狭义平稳过程

定义13:设 { X ( t ) , t ∈ T } \{X(t),t \in T\} {X(t),tT}是随机过程,如果:
(1) { X ( t ) , t ∈ T } \{X(t),t \in T\} {X(t),tT}是二阶矩过程;
(2)对任意 t ∈ T t \in T tT, m x ( t ) = E X ( t ) = 常 数 m_x(t)=EX(t)=常数 mx(t)=EX(t)=;
(3)对任意 s , t ∈ T s,t \in T s,tT R x ( s , t ) = E [ X ( s ) X ( t ) ] = R x ( s − t ) R_x(s,t)=E[X(s)X(t)]=R_x(s-t) Rx(s,t)=E[X(s)X(t)]=Rx(st).
则称 { X ( t ) , t ∈ T } \{X(t),t \in T\} {X(t),tT}广义平稳过程,简称为平稳过程

若T为离散集,则称平稳过程 { X ( t ) , t ∈ T } \{X(t),t \in T\} {X(t),tT}平稳序列

http://www.dt0577.cn/news/128.html

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